Make your own free website on Tripod.com

אלגברה(4 ו- 5 יחידות לימוד'). בני גורן

לתלמידי בתי ספר תיכוניים במגמות הביולוגית והריאלית, לנבחנים חיצוניים

ללומדים במכינות האוניברסטאיות, למתכוננים לבחינות כניסה לטכניון ולאוניברסיטה

כל הזכויות שמורות להוצאת המעבר(לבני גורן)

<<algebgor.doc

Упражнения для главы 1. Функции и графики

Определение функции

Найди область определения для каждой из следующих функций: 1) - 18) ... .

Ответы. 1) - 3).Для любого х. 4) - 18)....

19).Даны функции f(x) = ... , g(x) = ... . Найди следующие функции: a) - d). ...

Ответы. a) - d). ...

20).Даны функции f(x) = ... , g(x) = ... . Найди соответственно вопрсам a) - d) предыдущей задачи область определения каждой функции и саму функцию. Ответы. a) - d). ...

Функции первой степени

Явное уравнение прямой(см. стр. 17): y = mx + n

Уравнение прямой общего вида(см. стр. 19): Ах +Ву + С = 0

Найди n и m (явного уравнения) и начерти графики следующих прямых: 1) - 6) ... .

Ответы. 1) - 5). ... . 6). Не определены.

7).Найди (без черчения), какой график на рисунке (Рис. 1) соответствует каждому из уравнений, указанных справа: a) - f). ...

Реши графически и с помощью вычисления следующие системы уравнений:

8) - 10) ... . Ответы. 8). ... . 9). Нет решения. 10).Бесконечное число решений.

11).Прямая y = mx + n проходит через точки (4, 11) и (1, 2). Найди m и n. Ответ: ...

12).Найди уравнение прямой с угловым коэффициентом -2/3, проходящей через точку (-6, -3). Ответ: ...

13).Каково уравнение прямой, проходящей через точку (2, -5) и не пересекающую: a).ось х? b).ось у?

Найди, для каких значений параметра m следующие уравнения представляют: a).прямую, параллельную оси х; a).прямую, параллельную оси у.

14) - 15) ... . Ответы. 14). ... . 15). ... .

Начерти (с помощью таблицы) графики следующих функций: 16) - 21) ...

Функции второй степени

Парабола. Функция(см. стр. 19): y = ax2 + bx + c (a 0) Вершина: (-b/(2a), c - b2/(4a))

Найди координаты вершины и начерти (точно) следующие параболы: 1) - 5) ... .

Ответы. 1) - 5). ... .

Начерти приблизительно (с помощью корней) следующие параболы: 6) - 10) ... .

Реши графически и с помощью вычисления следующие системы уравнений:

11) - 13) ... . Ответы. 11) - 12). ... . 13).Нет решения.

14).Парабола y = ax2 + bx + c пересекает координатные оси в точках (3, 0), (-2, 0) и (0, -6). Найди a, b, c. Ответ: ...

15).Найди уравнение параболы с вершиной в точке (2, -5), проходящей через точку (3, -3). Ответ: ...

16).Ось симметрии параболы y = ax2 + bx есть прямая х = 3, парабола проходит через точку (1, 5). Найди ее наибольшее значение. Ответ: ...

17).Найди значение b, если минимальное значение функции у = 4x2 + bx + 5 есть -4. Ответ: ...

Для каких значений параметра m следующие функции являются параболами:

18)- 19) ... Ответы. 18) - 19). ...

20). Найди, для каких значений m координата у вершины параболы у = m(x2+3)-xm+x равна -2. Найди также координату х для каждого случая. Ответ: -1 или 1/11, 1 или -5. Найди точки пересечения с осью х следующих парабол:

21) - 22) ... Ответы: 21) - 22). ...

Начерти графики следующих функций:23) - 25) ...

Гипербола. Функция(см. стр. 21): y = a/x (a 0)

Начерти графики следующих гипербол: 1) - 3) ... .

Возрастание и убывание функции

Найди области возрастания и убывания следующих функций: 1) - 12) ...

Ответы. 1, 2, 4). Возрастает для всех х. 3, 6). Убывает для всех х. 5). Не убывает и не возрастает. 7). Возрастает: x > 0; убывает: x < 0. 8). Возрастает: x < 0; убывает: x > 0. 9). Возрастает: x > 1; убывает: x < 1. 10). Возрастает: x > 3/2; убывает: x < 3/2. 11). Возрастает: x < -2; убывает: x > -2. 12). Возрастает: x < -3/4; убывает: x > -3/4.

13).Докажи прямо по определению возрастания и убывания функции: a).Прямая у = 4х - 1 возрастает для любого х. b).Прямая у = -2х + 5 убывает для любого х.

14).Докажи: функция y = mx + n возрастает для всех х, если m > 0, и убывает для всех х, если m < 0.

15*).Докажи(согласно определения): функция y = x2 возрастает для x > 0 и убывает для x < 0.

16*).Докажи: если a > 0, то парабола у = ax2 + bx + c возрастает для х > -b/(2a) и убывает для x < -b/(2a).

17*).Докажи: если a > 0, то гипербола у = a/x убывает для: a). x > 0. b). x < 0.

18*).Докажи: функция y = 1/x2 возрастает для x < 0 и убывет для x > 0.

Обратная функция

Найди функцию, обратную функции у (обратная функция обозначается через g(x)), и отображение у(область значений, которые функция у может принимать): 1) - 6) ... .

Ответы. 1).g(x) = -2x + 8, функция у может принимать любые числовые значения.

2). g(x) = (1/3)x + 2, у любое. 3) - 6). ...

7). a).Найди функцию, обратную функции у = 2х - 4. b).Начерти в одной системе координат две эти функции и найди уравнение прямой, относительно которой обе функции симметричны. Ответы. a - b). ...

8). a).Найди функцию, обратную каждой из следующих функций: (1)у = -х + 1;

(2)у = -х - 3; (3)у = 4/х. Что у них общего? b).Начерти график каждой из этих функций и найди уравнение прямой, относительно которой они симметричны. В каком случае ответ будет единственным? Ответ. (1) - (3). ...

Сложная функция

1).Даны функции f(x) = ... , g(x) = ... , h(x) = ... . Вычисли: ... . Ответ. ... , не определена.

2).Даны функции f(x) = ... , g(x) = .... Найди сложные функции: a - d) ... . Ответ. a - d) ... .

3).Дано f(x) = ... . Найди ... . Ответ. ... .

4). a).Дана функция f(x) = ... . Найди обратную функцию g(x). b).Вычисли g(f(x)) и f(g(x)). Какая функция получается в каждом случае? Ответ. a -b). ... .

Нечетная функция и четная функция

Нечетная функция (см. стр. 25): f(-x) = -f(-x), четная функция : f(-x) = f(-x).

Найди, какие из следующих функций - нечетные, какие - четные, а какие - ни те и не другие. Докажи свои ответы: 1) - 15). ... . Ответы: 1, 5, 6, 8, 11, 14, 15 - нечетные, 2, 3, 4, 9, 10, 13 - четные, 7, 12 - не являются ни нечетными, ни четными.

Докажи следующие утверждения:

16).Произведение двух четных функций есть четная функция.

17).Произведение двух нечетных функций есть четная функция.

18).Произведение нечетной функции на четную есть нечетная функция.

19).Подстановка (композиция) четной функции в произвольную функцию есть четная функция. Найди также пример этого утверждения.

20).Подстановка нечетной функции в четную функцию есть четная функция.

21*).Найди пример двух функций, которые обе не нечетные или - не четные, однако их произведение дает четную функцию.

22*).Докажи: если нечетная функция определена в х = 0, то f(0) = 0.

 

Упражнения для второй главы. Задачи

Общие задачи

1).360 кг сахара упакованы в большие и маленькие пакеты. Больших на 3 больше, чем маленьких, а в каждом большом пакете на 6 кг сахара больше, чем в маленьком. Найди, в какое количество пакетов каждого вида упаковали этот сахар, если в больших пакетах было на 120 кг сахара больше, чем в маленьких?

Ответ. 15 больших и 12 маленьких или 8 больших и 5 маленьких.

2) прямоугольник площадью 200 кв. см. вписаны (Рис. 1) квадрат со стороной 6 см и два одинаковых прямоугольника(по углам). Найди стороны одинаковых прямоугольников, если дано, что сумма их площадей и площади квадрата (заштриховано) равна 92 см. кв. Ответ. 7 см и 4 см или 2 см и 14 см.

3).Среди работников предприятия 35% составляют женщины. После того, как 5% из числа мужчин и еще 11 женщин перестали работать, общее число работников предприятия уменьшилось на 6%. Найди, сколько работников было на заводе сначала. Ответ. 400 работников.

4).Определенный продукт стоил 300 шекелей. В первый раз продукт подорожал на некий процент, а затем снова цена поднялась и процент подорожания был на 5% больше предыдущего. После двух этих подъемов цена составила 450 шекелей. Найди, на какой процент поднялась цена в первый раз. Ответ. 20%.

5).Проверяется потребность в горючем двух автомобилей. Первый автомобиль проехал 128 км, а второй - 132 км. Первый затратил в общей сложности на 3 литра горючего меньше, чем второй, а количество км, пройденных первым автомобилем на одном литре горючего, было на 4 км больше, чем у второго. Найди, сколько км на 1 литре горючего проходит каждый автомобиль. Ответ. 16 км/литр, 12 км/литр.

6).Торговец купил одинаковых изделий на общую сумму в 720 шекелей. 2 изделия торговец оставил себе. 4 изделия были с дефектами и он их продал с убытком 25% на каждом. Все остальные изделия он продал с прибылью 5 шекелей на каждом. Всего он заработал на этом деле 90 шекелеей. Найди, сколько изделий купил торговец. Ответ. 36 изделий.

7).Типография намеревалось упаковать 840 книг в ящики так, чтобы в каждом ящике было одинаковое их число. Во время упаковки 6 ящиков разломалось, поэтому в 12 из числа исправных ящиков положили в каждый на 5 книг больше запланированного, а в остальные - на 10 книг больше в каждый. И все-таки 20-и книгам не нашлось места в исправных ящиках. Найди, во сколько ящиков типография намеревалась упаковать книги. Ответ. 28 ящиков.

8).Турист спланировал свое путешествие на некоторое число дней общей ценой 560 шекелей и с одинаковым расходом каждый день. Первые пять дней его расход равнялся запланированному , но затем возрос на 20 шекелей в день, а кроме того путешествие удлинилось на один день. В общей сложности цена путешествия оказалась на 140 шекелей больше запланированного. Найди, сколько дней продолжалось путешествие. Ответ. 8 дней.

9).Автобусная компания сдает автобус на таких условиях: если число пассажиров равно 30, то каждый платит по 100 шекелей. За каждого дополнительного пассажира (свыше 30-и) все платят на 2 шекеля меньше. Найди число пассажиров в автобусе, если компанния получила 3150 шекелей. Ответ. 35 или 45 пассажиров.

10) одном классе 30 учеников, а во втором - 35. В обоих классах вместе 17 девочек. Отношение между числом мальчиков и девочек в первом классе в 2 раза меньше такого же отношения во втором классе. Найди, сколько мальчиков и сколько девочек есть в каждом из этих классов. Ответ. 10 девочек и 20 мальчиков, 7 девочек и 28 мальчиков.

11).Школа наняла несколько автобусов для экскурсии. Но прибыло на 2 автобуса меньше, поэтому в каждый село на 6 учеников больше запланированного (в каждый автобус - одинаковое число учеников). Затем к экскурсии присоединилось еще 70 учеников другой школы, их поровну распределили между автобусами. Так число учеников в каждом автобусе достигло 43-х. Найди, сколько учеников первой школы отправилось в экскурсию. Ответ. 360 учеников.

12) шахматном турнире вместе со взрослыми участвует 7 детей. Каждый участник играет две партии с каждым соперником. Число партий, сыгранных взрослыми между собой, на 54 меньше числа партий, сыгранных детьми со взрослыми. Сколько участников было на турнире? Ответ. 16 или 13 участников.

13) соревнованиях футбольной лиги имеется два этапа. На первом этапе каждая команда играет дважды против каждой из остальных команд. На втором этапе между собой играют шесть лучших команд - каждая команда играет с другими по одному разу. И остальные команды также играют между собой - тоже по одному разу. Найди, сколько команд в лиге, если всего сыграно 225 матчей. Ответ. 14 команд.

14).Человек взял в банке под определенный процент ссуду 80000 шекелей. Через год он вернул банку 52000 шекелей, а остаток ссуды вместе с набежавшим процентом оставил еще на один год под тот же процент. По завершении второго года он заплатил банку 46000 шекелей и так погасил свой долг.Найди, каким был годовой процент банка. Ответ. 15% .

15).Два человека двинулись навстречу друг другу с двух концов дорожки. После того, как оба они сделали по 50 шагов, расстояние между ними составило 35 м. Первому требуется на 30 шагов больше чем второму, чтобы пройти всю дорожку, потому что его шаг на 10 см короче шага второго человека. Найди длину дорожки. Ответ. 90 м .

Числовые задачи

1).Из двузначного числа создают два трехзначных: первое число получается записью цифры 5 справа от данного числа, а второе - записью цифры 7 слева от заданного. Если поделить второе трехзначное число на первое трехзначное, то получается частное 3 и остаток 18. Найди двузначное число. Ответ. 23.

2).Цифра сотен в трехзначном числе равна цифре десятков. Если поделить данное число на сумму его цифр, получится 19. Число, составленное из цифр заданного числа в обратном порядке, меньше на 45, чем умноженное на 4 исходное число. Найди исходное число. Ответ. 114.

3).Из двузначного числа создают два числа таким образом: (1)Вставляют между двумя цифрами исходного числа цифру его десятков и получают число, которое в 9 раз больше исходного. (2) Вставляют между двумя цифрами исходного числа цифру его единиц и получают число, которое, если его поделить на заданное, то получится частное вдвое больше цифры единиц исходного двузначного числа и остаток 5. Найди заданное двузначное число. Ответ. 25.

4).Сумма цифр данного трехзначнного числа равна 8. Если из него убрать цифру сотен, то получается двузначное число, которое меньше заданного в 5 раз. Если из двузначного убрать цифру десятков, получается число, которое меньше исходного на 120. Найди заданное трехзначное число. Ответ. 125.

5).Ученик перемножил одно на другое два положительных числа. В вычислениях он ошибся и получил произведение, в котором цифра десятков на 2 больше верной, а цифра сотен на 1 меньше верной. Для проверки он разделил ошибочное произведение на один из сомножителей и получил частное 15 с остатком 12. Когда же он разделил ошибочное произведение на второе число, то получил частное 18 и остаток 15. Найди два заданных числа. Ответ. 19, 23.

6).Даны два двузначных числа, одно из которых больше второго на 5. Из них образуют два числа таким образом: (1)Сначала записывают меньшее двузначное число, слева от его цифры единиц вписывают цифру 2, а справа дописывают большее двузначное число из заданных. (2)Сначала записывают большее двузначное число, справа от его цифры единиц дописывают меньшее двузначное число из заданных, полученнное число умножают на 5. Сумма двух полученных чисел равна 17765. Найди два заданных двузначных числа. Ответ. 10, 15.

Задачи смешивания

1).Некоторое количество соляного раствора 7% содержания смешали с некоторым объемом 12% раствора, получился 10% раствор соли объемом 12 литров. Найди объемы двух исходных растворов. Ответ. 4.8 литра, 7.2 литра.

2).Смешали некоторое количество алкоголя 40%-ной концентрации с другим 60% раствором. Из смеси выпарили 100 литров воды и получили 400 литров алкоголя 65% содержания. Найди объемы двух исходных растворов. Ответ. 200 и 300 литров.

3).Некоторое количество 75%-ной кислоты смешали с раствором кислоты, объем которого на 30 литров больше первого, а концентрация - 60%. В смесь добавили 30 литров чистой кислоты и получили 70%-ный раствор. Вычисли, сколько литров 70% раствора кислоты получено. Ответ. 300 литров.

4) первом боченке 15 литров алкоголя и 5 литров воды, а во втором 4 литра алкоголя и 10 литров воды. Вычисли, сколько литров раствора надо перелить из первого боченка во второй, чтобы: a).количество алкоголя в двух боченках стало равным; b).во втором боченке стало равным количество воды и алкоголя.

Ответ. a).71/3 литра; b).12 литров.

5) растворе 2 литра чистого алкоголя, а остальное - вода. После добавления в него 9-и литров чистого алкоголя содержание последнего возросло на 25%. Найди первоначальный объем раствора. Ответ. 3 или 24 литра.

6).Процент меди в сплаве типа a на 30% меньше процента меди в сплаве типа b. Взяли по пруту каждого типа и расплавили их вместе, получился сплав, содержащий 32% меди. В пруте типа a было 6 кг чистой меди, а в пруте типа b - 10 кг чистой меди. Вычисли процент меди в каждом из исходных сплавов. Ответ. 20%, 50%.

7*).Из сосуда, содержащего 90%-ный раствор алкоголя извлекли 5 литров и вместо них добавили 5 литров 60% раствора алкоголя. После этого снова извлекли 5 литров полученной смеси и добавили 5 литров 50%-ного раствора алкоголя. Содержание алкоголя в полученном растворе составило в конце 70%. Найди количество раствора, которое было в сосуде. Ответ. 15 литров.

8*).Два сосуда емкостью каждый по 20 литров содержат вместе 20 литров чистого алкоголя. К алкоголю в первом сосуде добавляют воду до заполнения сосуда. Часть смеси из первого сосуда переливают во второй до его заполнения. В конце переливают 8 литров смеси из второго сосуда в первый, и тогда в нем становится на 1/2 литра чистого алкоголя больше, чем во втором. Найди, сколько чистого алкоголя было в первом сосуде сначала. Ответ. 15 литров.

Задачи движения

Примечание. Во всех задачах, если не отмечается иное, скорости постоянные.

1).Велосипедист преодолел расстояние в 100 км между Тель-Авивом и Хайфой с постоянной скоростью. На обратном пути он два часа ехал с прежней скоростью, затем отдыхал 20 минут, а оставшийся путь проехал со скоростью на 5 км/ч больше прежней. Время в пути от Тель-Авива до Хайфы оказалось равным времени возвращения из Хайфы в Тель-Авив. Найди скорость велосипедиста на пути из Тель-Авива в Хайфу. Ответ. 25 км/ч.

2).Машина выехала из одного города во второй, находящийся от первого на расстоянии 360 км, и должна была двигаться с заранее запланированной постоянной скоростью. После езды с этой скоростью в течение 1.5 часов она простояла 45 мин. Затем машина продолжила путь со скоростью на 10 км/ч больше предыдущей. Машина прибыла во второй город с 25 - минутным опозданием против намеченного. Найди скорость автомобиля после задержки в пути. Ответ. 80 км/ч.

3)Велосипедист предполагал проехать путь 88 км с постоянной скоростью. После 3 часов езды с намеченной скоростью он замедлился на 3 км/ч, поэтому стал опаздывать и через час после назначенного финиша обнаружил, что находится на расстоянии 7 км до цели. Найди обычную скорость велосипедиста. Ответ. 11 км/ч.

4).Две машины одновременно выехали из одного города во второй, находящийся в 180 км от первого. Первая машина прошла весь путь с постоянной скоростью. А вторая - прошла треть пути со скоростью на 20 км/ч больше, чем первая, после этого полчаса простояла, а оставшийся путь проехала со скоростью на 25% ниже скорости на первой трети пути. Вторая машина добралась до цели через 15 минут после первой. Найди скорость первой машины. Ответ. 60 км\ч.

5).Машина прошла некоторый путь с постоянной с коростью. Если бы она уменьшила свою скорость на 10 км/ч, то ее время в пути возросло бы на 15 мин, а если бы она снизила скорость еще на 5 км/ч, время в пути возросло бы еще на 9 мин. Найди длину пути. Ответ. 180 км.

6).Из двух пунктов А и В, находящихся на расстоянии 33 км, одновременно и с одинаковой скоростью вышли навстречу друг другу два пешехода. Пешеход из А , пройдя 8 км, два часа отдыхал. Затем он продолжил движение в направлении В со скоростью на 1 км/ч больше прежней. На расстоянии 5 км от места отдыха он встретился со вторым пешеходом, который шел из В в А без остановки. Найди скорость пешехода, который шел из В в А . Ответ. 4 км/ч.

7).Скорость в стоячей воде груженого речного судна меньше на 10 км/ч его скорости в стоячей воде и без груза. Судно с полным грузом идет по реке против течения на расстояние 63 км и затем возвращается пустым(по течению). Скорость течения составляет 3 км/ч, а продолжительность пути в оба конца - 35 часов. Найди скорости груженого и пустого судна в стоячей воде. Ответ. 5 и 15 км/ч.

8).Два велосипедиста двигались один навстречу другому, первый - из А в В - со скоростью 10 км/ч, а второй, вышедший через час за первым из В в А, - со скоростью 12 км/ч. Они встретились и продолжили свой путь. Первый потратил на расстояние от точки встречи до В на 28 минут меньше, чем второй на расстояние от точки встречи до А. Найди расстояние от А до В. Ответ. 32 км.

9).От Хайфы до Эйлата 450 км. Две машины в одно время вышли: первая из Эйлата в Хайфу, а вторая из Хайфы в Эйлат. Через 2 часа и 20 минут они еще не встретились и находились в 135 км друг от друга. a).Найди скорости машин, если дано, что машина из Эйлата в Хайфу пройдет весь путь на полтора часа быстрее машины из Хайфы в Эйлат. b).Не прибегая к помощи данных из вопроса a найди, через сколько часов машины встретятся. Ответ. a).60 км/ч, 75 км/ч. b).31/3 часа.

10).Один велосипедист в 6.00 отправляется из Тверии в Хайфу(расстояние 72 км). Второй велосипедист в 6.30 со скоростью на 3 км/ч больше, чем у первого, также едет из Тверии в Хайфу. Второй велосипедист догоняет первого и затем через 1.5 часа добирается до Хайфы. Найди скорости велосипедистов. Ответ. 15 км/ч, 18 км/ч.

11).Два катера выходят из одной точки и в одно время: один - на восток, а второй - на север. Через 15 минут катер, который двинулся на восток, был дальше от старта на 2 км, чем катер, идущий на север. Еще через 15 минут расстояние между катерами составляло 20 км. Найди скорости катеров. Ответ. 32 км/ч, 24 км/ч.

12).(Рис. 2)Одна лодка вышла из точки А и отправилась на север. Вторая лодка вышла тогда же из точки, находящейся на 45 км восточнее точки А, и двинулась к точке А . Через 1.5 часа расстояние между лодками было 30 км. Когда же вторая лодка дошла до точки А, расстояние между лодками составило 40 км. Вычисли скорости лодок. Ответ. 16 км/ч и 18 км/ч или 1323/29 км/ч и 1515/29 км/ч.

13). (Рис. 3) Поселения А, В и С образуют прямоугольный треугольник. Пешеход с постоянной скорость проходит из А в В расстояние 12 км, а затем в течение часа из В в С. Возвращается он из С в А с той же скоростью по прямой линии. Путь до точки С занял на 48 минут дольше, чем возвращение из С в А. Найди скорость пешехода и расстояние АС. Ответ. 5 км/ч, 13 км.

14).Две машины одновременно вышли из одного места и двинулись в одном направлении, одна со скоростью 60 км/ч, а вторая со скоростью 75 км/ч. Через некоторое время из того же места со скоростью 90 км/ч выехала третья машина. Она догнала быструю машину через полтора часа после того, как она обошла медленную. Вычисли расстояния, пройденные первыми машинами до того момента, как третья машина догоняла их. Ответ. 90 км, 225 км.

15).Из некоторого места одновременно в одном направлении выехали два велосипедиста, один со скоростью 20 км/ч, а второй со скоростью 32 км/ч. Через полтора часа после этого с того же места и в том же направлении выехала машина, которая через некоторое время догнала первого велосипедиста, а еще через полчаса - второго. Вычисли скорость машины. Ответ. 80 км/ч.

16).Расстояние между городами А и В - 90 км. В 8.00 выехал из А в В один велосипедист, а в 9.00 из В в А выехал второй. Они встретились по дороге, и каждый продолжил свой путь. Велосипедист, который выехал из А, прибыл в В через 1.5 часа после их встречи, а велосипедист, который выехал из В, прибыл в А через 4 часа после встречи. Найди скорости велосипедистов. Ответ. 20 и 15 км/ч.

17).(Рис. 4)Вдоль берега реки расположены три точки А, В и С. Точка В находится между А и С на расстоянии 14 км от С. Течение направлено от А к С. Лодка без мотора проходит путь от А к С за 6 часов, а от С к А за 9 часов. Катер с мотором, скорость которого в 4 раза больше скорости лодки без мотора, проходит путь от В до С за 40 минут. Найди скорость течения и расстояние АВ. Ответ. 1 км/ч и 22 км.

18).Вдоль прямого шоссе расположены три поселения А, В и С (В между А и С). Расстояние АВ равно 30 км. Первая машина выходит в 6.00 из А в С, а вторая машина, скорость которой на 30 км/ч больше, чем у первой, выходит в 7.00 из В в С. Через час после своего выхода в путь вторая машина настигла первую, а затем на 20 минут раньше первой прибыла в С. Вычисли расстояние ВС. Ответ. 150 км.

19).Грузовик выехал из Сдома в Беер-Шеву(расстояние 75 км). Через 15 минут после него также из Сдома в Беер-Шеву выехал со скоростью 90 км/ч мотоциклист. Он настиг грузовик и тут же повернул в Сдом. Грузовик доехал до Беер-Шевы в тот же момент, когда мотоциклист вернулся в Сдом. Найди скорость грузовика. Ответ. 60 км/ч.

20*).Таксист, проезжая мимо человека, идущего в противоположном направлении, заметил, что тот хочет ехать на такси. Через 4 секунды после этого такси остановилось и двинулось назад задним ходом. Человек, пожелавший ехать на такси, через 3 секунды после встречи с ним остановился, повернулся и двинулся в сторону такси. Скорость такси задним ходом в 2 раза больше скорости человека и в 5 раз меньше скорости своего движения вперед. Найди, через сколько секунд после того, как таксист заметил человека, машина остановится возле него. Ответ. 18 сек.

21*).Из двух поселений вышли навстречу друг другу два пешехода. Первый вышел на час раньше второго, скорость которого была 3 км/ч. Они встретились, когда первый пешеход прошел 12 км. После встречи они продолжили каждый свой путь, и первый пешеход добрался до второго поселения за 2.5 часа до того, как второй пешеход дошел до первого поселения. Вычисли расстояние между поселениями. Ответ. 18 км.

22*).Два пешехода вышли вместе из А в В. Первый пришел в В через 5 часов. А второй, пройдя четверть пути, вернулся в А, провел там 30 минут и снова пошел в В. Он добрался до В одновременно с первым пешеходом, который тратил на каждый километр на 8 минут больше второго. Найди скорости пешеходов. Ответ. 3 и 5 км/ч.

23*).Пешеход двинулся из А в В в 8.00 со скоростью 4 км/ч. В 9.00 также из А в В вышел со скоростью 3 км/ч второй пешеход. А третий пешеход, который шел из В в А со скоростью 6 км/ч, встретил первого в 9.30, а затем также и второго. Найди, каким в этот момент было расстояние от первого пешехода до второго. Ответ. 5 км.

24*).Два бегуна соревнуются на дорожке длиной 65 м. Оба стартовали на одном конце дорожки и бежали до второго ее конца. Второй бегун стартовал на секунду позже первого, настиг его на расстоянии 15 м от старта, добежал до второго конца, немедленно повернул назад и снова встретился с первым бегуном, который все еще бежал ко второму краю дорожки. Эта встреча состоялась через 11 секунд после того, как стартовал первый бегун. Найди скорости бегунов. Ответ. 5 и 7.5 м/сек.

25*).Пешеход двинулся в путь со скоростью 5 км/ч. Через час с того же места и в том же направлении вышел со скоростью 6 км/ч второй пешеход. Еще через час с того же места выехал велосипедист, он настиг второго пешехода, а еще через 20 минут и первого. Найди скорость велосипедиста. Ответ. 8 или 15 км/час.

26*).Два спортсмена бегут по круговой дорожке с постоянной скоростью. Первый проходит круг на 10 сек быстрее второго. Оба спортсмена стартовали одновременно, с одной точки и бежали в одном направлении. После старта они впервые встретились через 720 сек. a).Найди, за сколько секунд каждый из них проходит один круг. b).Найди длину дорожки, если скорость первого бегуна на 0.5 м/сек больше скорости второго. Ответ. a).80 и 90 сек . b).360 м .

27*).Автобус и пешеход одновременно отправились от станции А к станции В (расстояние 5 км). Через 12 минут пешеход повстречал этот автобус, который возвращался немедленно после прибытия в В. Пешеход прошел еще 250 м и снова его настиг автобус, который дойдя до А немедленно отправился к В. Найди скорость автобуса и пешехода. Ответ. 45 и 5 км/ч .

28*).Грузовик и такси выехали вместе из кибуца в Хайфу. Когда такси было в 9 км от Хайфы, грузовик прошел треть пути. Когда такси прошло 2/3 пути, грузовик был в 10 км от Хайфы. a).Найди расстояние от кибуца до Хайфы. b).На каком расстоянии от Хайфы был грузовик, когда такси прибыло в Хайфу. Ответ. a).18 км. b).6 км .

29*).Расстояние между Ашкелоном и Беер-Шевой 60 км. Велосипедист выехал из А. в направлении Б.-Ш. со скоростью 20 км/ч. 1.5 часа спустя также из А. к Б.-Ш. выходит автомобиль. Он настигает велосипедиста и немедленно разворачивается в А. Когда автомобиль вернулся в А., велосипедист находился от Б.-Ш. на расстоянии, в точности равном половине того расстояния, на котором он находился от нее, когда автомобиль нагнал его. Найди скорость автомобиля. Ответ. a).80 км/ч.

30*).Два велосипедиста одновременно выехали: один из поселения А в поселение В, а второй из В в А. До встречи второй велосипедист прошел на 15 км больше первого. Первый велосипедист прибыл в В через 4.5 часа после встречи, а второй в А через два часа после встречи. Найди расстояние между поселениями и скорости велосипедистов. Ответ. 75 км, 15 и 10 км/ч.

31*).Две машины изо дня в день в постоянное время выходят из двух мест и едут одна за другой. Быстрая машина догоняет медленную за время в 5/3 раза больше времени, которое им нужно до встречи, если бы они выезжали в одно время навстречу друг другу из тех же мест. a).Обозначь через х скорость быстрой машины, а через у - медленной и найди отношение между х и у. b).Однажды быстрая машина вышла на 15 минут позже(а медленная выехала вовремя). Напиши с помощью х и у, на сколько минут позднее обычного времени нагонит быстрая машина медленную и вычисли число минут опоздания. Ответ. a).4. b).15x/(x - y), 20 мин.

32*).Пешеход и велосипедист, скорость которого на 15 км/ч больше скорости пешехода, выходят в путь в одно время: пешеход из Тель-Авива в Нетанию, а велосипедист из Нетании в Тель-Авив. Через 48 мин они еще не встретились и находились в 5 км друг от друга. Пешеход пришел в Нетанию через четыре часа после встречи с велосипедистом. Найди скорость пешехода и расстояние между Тель-Авивом и Нетанией. Ответ. 5 км/ч, 25 км.

33*).Два человека в одно время вышли навстречу друг другу: один из А, другой из В. Они встретились в 60 м от В, продолжили путь и пришли: первый в В, второй в А . Немедленно после этого они отправились к местам своего выхода и снова встретились в 30 м от А . Найди расстояние АВ. Ответ. 150 м.

34*).Три пешехода одновременно вышли в путь: двое из А в В, один из В в А . Пешеход, вышедший из В, встретил в 16 км от А более быстрого пешехода, вышедшего из А, а в 10 км от А - более медленного. Во время первой встречи пешеходы, вышедшие из А, находились в 9 км друг от друга. Найди расстояние АВ. Ответ. 30 км.

35*).Расстояние между Сдомом и Эйлатом 180 км. Однажды одновременно выехали две машины: одна из Сдома в Эйлат, вторая из Эйлата в Сдом. Машина из Сдома добралась до Эйлата на 1.5 часа раньше, чем машина из Эйлата - до Сдома. Назавтра (после возвращения каждой в исходную точку) машины снова поехали навстречу друг другу, но машина из Сдома вышла раньше машины из Эйлата. Они встретились в 120 км от Сдома и продолжили свой путь. Машина, которая ехала в Эйлат, пришла на место раньше, чем машина, ехавшая в Сдом, на время в 4 раза больше того, на которое она опередила ее при выезде. Скорости машин были постояннными в течение обоих дней, найди их. Ответ. 60 и 40 км/ч.

36*).Три пешехода вышли один за другим через равные интервалы времени из поселения А в поселение В, а затем - в поселение С. Расстояние ВС равно 12 км.

Все трое одновременно пришли в В. Пешеход, вышедший первым из А, пришел в С через час после прибытия туда пешехода, вышедшего вторым. Третий пешеход, прийдя в С, немедленно стал возвращаться. Он встретил первого пешехода в 4 км от С. Найди скорости всех трех пешеходов. Ответ. 3, 4 и 6 км/ч.

37*).Один пешеход отправился из поселения А в поселение В. Через некоторое время из А в В двинулся второй пешеход, скорость которого была на 2 км/ч больше, чем у первого. Оба они пришли в В одновременно. За 1.5 часа до того, как наши пешеходы пришли в В, им навстречу из В выехал велосипедист. Его скорость была в 3,5 раза больше скорости первого пешехода. Велосипедист встретил первого пешехода за 7 мин до того, как встретил второго. Найди скорость первого пешехода. Ответ. 4 км/ч.

38**).Велосипедист выезжает из А в направлении В. Точно в это время выходит машина, которая едет из В в А, затем сразу из А в В, а в конце снова из В в А. Машина встречала велосипедиста(поравнялась с ним) 3 раза, один раз через час после их выхода в путь, а третий раз - в 20 км от В. И еще - время между второй встречей и первой равнялось времени между третьей встречей и второй. Найди скорость велосипедиста и машины и расстояние АВ. Ответ. 20 и 60 км/ч, 80 км.

39**).Грузовик в 8.00, автобус в 8.30 и мотоцикл в 9.30 вышли из одного места и поехали в одном направлении. Мотоцикл догнал грузовик через 1.5 часа, после того, как его(грузовик) догнал автобус. Мотоцикл догнал автобус, пройдя 240 км. Найди скорости всех транспортных средств, если известно, что скорость автобуса есть среднее арифметическое скоростей мотоцикла и грузовика. Ответ. 40, 60 и 80 км/ч.

40**).Два пешехода в одно время вышли навстречу друг другу: один из поселения А, другой из поселения В. Они встретились, продолжили свой путь, добрались до своих пунктов назначения, один в В, второй в А, и немедленно повернули к исходным поселениям. До их второй встречи(во время возвращения) пешеход, вышедший из А, прошел на 6 км больше пешехода, стартовавшего в В. Пешеход из посления А пришел обратно в А через час после их последней встречи, а пешеход из поселения В вернулся в В через 2.5 часа после указанной встречи. Найди скорости пешеходов и расстояние АВ. Ответ. 6 и 4.8 км/ч, 18 км.

Задачи производительности труда

Примечание. Во всех задачах, если не сказано иначе, постоянная производительность.

1).Два рабочих, имеющих постоянную производительность, выполняют вместе некоторую работу в течение 2 часов и 24 мин. Если бы первый рабочий выполнил один половину работы, а второй продолжил ее один до завершения, то она выполнялась бы 5 часов. Найди, за сколько времени способны выполнить всю работу эти рабочие, действуя по одному. Ответ. 4 и 6 часов, или 6 и 4 часа.

2).Бассейн наполняется из двух кранов за 2 часа. Если наполнить треть бассейна только из одного крана, закрыть его и открыть второй, то бассейн наполнится за 5 часов. Найди, за сколько времени можно заполнить бассейн через каждый кран по-отдельности. Ответ. 3 и 6 часов, или 10 и 2.5 часа.

3).Две фирмы выполнили некоторую работу всего за 29 дней. Сперва работала первая фирма одна и сделала 1/3 всего объема, затем она прекратила работать, а вторая приступила к работе и сделала одна 1/6 всего объема. На этом этапе первая фирма вернулась, и они вместе завершили оставшуюся работу за 9 дней. Найди, за сколько дней способны выполнить всю работу эти фирмы, действуя самостоятельно. Ответ. 45 и 30 дней, или 24 и 72 дня.

4).Два пешехода одновременно вышли из А и из В(первый в В, второй в А). После встречи они продолжили свой путь. Пешеход из А добрался в В через 21/4 часа после встречи, а пешеход из В прибыл в А через 4 часа после встречи. Найди, за сколько часов каждый пешеход преодолел расстояние АВ. Ответ. 51/4 и 7 часов.

5).Два автомобиля выехали навстречу друг другу из А и из В и встретились через час 20 мин. Машине, вышедшей из А, требуется на час больше времени, чтобы преодолеть 3/5 пути из А в В, чем машине, вышедшей из В, преодолеть 7/10 пути из В в А . Найди, за сколько часов каждая машина проходит АВ. Ответ. 4 и 2 часа.

6*).Резервуар наполняется из двух кранов вместе за 6 часов. Если открыть первый кран на время, которое требуется второму, чтобы наполнить резервуар наполовину, а второй кран на время, которое требуется первому крану для наполнения трети резервуара, то вместе они наполнят его на 5/6. Найди, за какое время каждый кран способен наполнить резервуар. Ответ. 15 и 10 часов или 12 и 12 часов.

7*).Двое рабочих должны выполнить некоторую работу. Сперва работал первый рабочий в течение часа, затем к нему присоединился второй, и спустя еще 2 часа они завершили 45% всей работы. Далее они продолжали работать вместе и закончили работу. По ее завершении выяснилось, что каждый из них выполнил половину работы. Найди, за какое время каждый рабочий один способен выполнить эту работу. Ответ. 12 и 10 часов.

8*).Бригада рабочих должна сделать 228 деталей в течение определенного времени, каждый день постоянное их число. Первые пять дней рабочие выполняли намеченную норму. А затем увеличили производительность на 6 деталей в день. В итоге они завершили работу на один день раньше запланированного и произвели 245 деталей. Найди, сколько деталей в день делала эта группа сначала. Ответ. 19 деталей.

9).Два учителя должны были вместе проверить 75 экзаменационных работ. В первый день один из учителей приступил к проверке на час раньше второго, а завершили проверять они вместе, и каждый проверил по 20 работ. Назавтра первый учитель работал 5 часов, а второй три, и они завешили проверку. Каждый учитель трудился в постоянном темпе. Найди, сколько работ проверил каждый учитель.

Ответ. 40 и 35 работ.

10).Две машинистки должны были напечатать 64 страницы. Сначала 5 часов работала первая машинистка, а потом ее сменила вторая, завершившая работу за 4 часа. Чтобы напечатать 12 страниц, первой машинистке требуется на полчаса меньше, чем второй. Найди, сколько страниц в час печатала каждая машинистка. Ответ. 8 и 6 страниц.

11).Бригада рабочих прокладывала электрический кабель в постоянном темпе, который был им назначен - 8 м/час. После того, как они сделали треть работы, их темп упал до 6 м/час. Так они работали до выполнения еще половины задания, а затем ускорились до 10 м/час. Группа завершила работу на час позже, чем должна была, если бы работала все время в назначенном темпе. Найди время работы группы и длину кабеля. Ответ. 8.5 часов, 60 м.

12*) котла объемом 750 литров есть два крана - один для наполнения, дрогой для опорожнения. Опрожнение заполненного котла длится на 5 минут меньше заполнения пустого. Как-то, когда котел был полон, открыли по ошибке оба крана, и котел опрожнился за 30 мин. Найди объемы воды, проходящие в минуту через краны наполнения и опорожнения. Ответ. 50 и 75 литров.

13*).Две трубы поставляют воду в бассейн. Через первую трубу проходит 15 м.куб/мин. Однажды, когда бассейн был пуст, открыли первую трубу и только через 10 минут - вторую. Бассейн заполнился, и выяснилось, что объем воды, поступившей через первую трубу, в 2.5 раза больше объема воды из второй трубы. Назавтра, когда бассейн был пуст, открыли снова сперва первую трубу, а через 19 минут - вторую. И бассейн заполнялся на 4 минуты дольше, чем в предыдущий день(начиная с момента открытия первой трубы). Найди объем бассейна. Ответ. 420 м.куб.

14*).Два рабочих должны были подготовить одинаковое число деталей. Первый завершил свою работу за 10 часов. Второй приступил к работе через менее чем 1.5 часа после первого, а завершил за 4 часа до него. Через час, после того, как второй рабочий начал работать, у каждого из них было готово одинаковое число деталей. Найди, за сколько часов выполнил второй рабочий свою работу. Ответ. 5 часов.

 

Упражнения для главы 3. Неравенства

Неравенства первой степени

Реши следующие неравенства: 1 - 12) ... .

Ответы. 1 - 7, 9). ... . 8, 11). Нет решения. 10, 12). Для любого х.

Нанеси следующие неравенства на числовую ось и найди их решения:

13 - 18). ... (и также - וגם ) . Ответы. 13 - 17). ... . 18). Нет решения.

Реши следующие системы неравенств:

19 - 31). ...(и также -וגם ). Ответы.19-24, 27-31). ... . 25).Нет решения. 26).Для любого х.

Нанеси на числовую ось следующие неравенства и найди их решения:

32 - 37). ...(или -או ). Ответы.32, 34-37). ... . 33).Для любого х.

Реши следующие системы неравенств: 38 - 46). ...(или -או , и также -וגם ).

Ответы.38 - 40, 42, 44-46). ... . 41).Для любого х. 43).Нет решения.

Неравенства с корнями

Найди область определения каждой из следующих функций: 1 - 13, 14*)... . Ответы. ... .

Реши следующие неравенства: 15 - 24) ... . Ответы. 1 - 23). ... . 24).Нет решения.

Найди область определения всех следующих функций: 25 - 28). ... . Ответы. ... .

Неравенства с абсолютным значением

Основные неравенства

Их решения (см. стр. 34)

(1) |x| < a

(1) -a < x < a

(2) |x| > a

(2) a < x или x < -a

Реши следующие неравенства:

1 - 24) ... . Ответы. 1-8, 10-19, 21-24). (или -או)... . 9).Нет решения. 20).Для любого х.

Реши следующие неравенства: 25* - 36*) ... . Ответы. 25-36). (или -או)... .

Найди область определения следующих функций: 37, 38, 39*). ... . Ответы. ... .

Различные упражнения(неравенства первой степени)

Найди, для каких значений х: 1).Функция у = 2х - 4 положительна и ее значения меньше 8. 2). Функция у = 3 - 3х неположительна и ее значения больше -6. 3).Прямая у = 4х -1 не находится между прямыми у = 5 и у = -4. 4). Прямая у = х - 2 находится над прямой у = -х + 3 и ниже прямой у = 0.5х+1. Ответы. 1-4). (или -או)... .

Найди, для каких значений m следующие уравнения есть прямые, образующие с положительным направлением оси х (сверху): a).острый угол; b).тупой угол; c).параллельную оси х. 5, 6) ... . Ответы. ... .

Найди, для каких значений х: 7). значения функции у = (3х - 6) меньше 3; 8). значения функции у = (3х + 3) больше 1; 9). график функции у = (х + 2) - (8 - 2х) находится над осью х. Ответы. ... .

10).Найди, для каких значений m решение уравнения 2x - 2m = 5x + 3 + 4m неотрицательно и меньше 1. Ответ. ... .

11).Найди, для каких значений m решение уравнения 3x - m = 2(x + m) + 5 больше |m|. Ответ. ... .

12).Дана система уравнений x - y = m и x + 2y = 4m + 3 . Найди, для каких значений m значения х и у решения: a).оба положительные; b).оба отрицательные; c).имеют разные знаки. Ответ. ... .

13).Даны прямые y = 3x + m - 6 - y и y = -2x + 2m . Найди, для каких значений m точка их пересечения будет находиться в четвертях: a).первой; b).второй; c).третьей; d).четвертой. Ответ. a, c, d). ... . b).Невозможно.

14).Найди, для каких значений m оба корня квадратного уравнения x2-3mx+2m2+m-1 = 0 будут находиться между -5 и 1. Ответ. ... .

15*).a).Найди область определения функции y = (2 - (5 - x)) b).Найди, для каких значений x значения функции меньше 1. Ответ. ... .

 

Задачи с неравенствами (первой степени)

1) кошельке 40 монет, часть по 5 шекелей и часть - по 10. Известно, что в кошельке всего от 250 до 300 шекелей. Найди, в какой области находятся число монет:

a).по 5 шекелей; b).по 10 шекелей. Ответ. a).от 20 до 30; b).от 10 до 20.

2).За 4 ручки и 3 карандаша платят 30 шекелей. Найди в какой числовой области должна находиться плата за 2 ручки и 6 карандашей. Ответ. От 15 до 60 шекелей.

3).Человек шел пешком 2.5 часа и ехал на велосипеде с другой скоростью еще 1.5 часа. Всего он преодолел 30 км. В другой раз тот же человек на тех же скоростях шел 1.25 часа и ехал на велосипеде 2 часа. Найди, в какой числовой области находится расстояние, преодоленное им во второй раз. Ответ. От 15 до 40 км.

4).Такси и грузовик с постоянной скоростью, соответственно, 80 и 60 км/ч одновременно выехали из города А в город В. Грузовик прибыл в В меньше чем на 1.5 часа позже такси. a).Найди, в какой числовой области находится время в пути такси. b).Найди, в какой числовой области находится расстояние между городами. Ответ. a).от 0 до 4.5 часов; b).от 0 до 360 км.

5).Поезд проходит каждый день 320 км со скоростью 80 км/ч. Однажды после езды с обычной скоростью в течение некоторого времени поезд был задержан на полчаса. После этого движение было продолжено со скоростью на 20 км/ч больше обычной и поезд прибыл на место позже обычного времени. Найди, в какой числовой области находятся: время в пути и расстояние - оба до задержки поезда.

Ответ. Время - от 1.5 до 4 часов, путь - от 120 до 320 км.

6).Два пешехода одновременно двинулись навстречу друг другу из двух пунктов, находящихся на расстоянии 18 км. Скорость второго была на 2 км/ч больше, чем у первого. Через 1.5 часа они еще не встречались, а расстояние между ними было меньше 3 км. Найди, в какой числовой области находятся скорости пешеходов. Ответ. Скорость первого - от 4 до 5 км/ч, скорость второго - от 6 до 7 км/ч.

7).Велосипедист вышел в путь с некоторой скоростью в 6.00. В 10.30 с того же места вышла машина со скоростью на 60 км/ч большей, чем скорость велосипедиста. Машина догнала велосипедиста между 11.30 и 12.00. Найди, в какой числовой области находятся: скорость велосипедиста и расстояние, которое он преодолел до того момента, как машина догнала его.

Ответ. Скорость - от 131/3 до 20 км/ч, путь - от 731/3 до 120 км .

8).Найди между 320 и 380 число, которое при деление на 29 дает остаток 7, а при делении на 23 дает остаток 10. Ответ. 355.

9).Смешали два различных объема алкоголя, один - содержания 40%, второй - 60%, добавили 20 литров воды и получили алкоголь содержанием 42%. Найди, в какой числовой области находятся каждый из смешиваемых объемов алкоголя.

Ответ. Первый объем - от 30 до 80 литров, второй - от 0 до 50 литров.

10).Трактор пахал в постоянном темпе по 20 дунамов в час соответственно запланированному, чтобы завершить пахоту некоторого участка. Через 9 часов обнаружилась неисправность у трактора, и он час простоял до устранения поломки. После этого трактор увеличил свою производительность и каждый час пахал по 20 дунамов. За час до запланированного конца работы он еще не кончил пахоту. Найди, в какой числовой области находятся размер участка. Ответ. От 135 до 255 дунамов.

Неравенства второй степени

Решения квадратных неравенств(a > 0, x1 < x2, D = b2 - 4ac, см. стр. 36):

Неравенство ax2 + bx + x > 0

Неравенство ax2 + bx + x < 0

Случай

Решение

 

Случай

Решение

D > 0

D = 0

D < 0

х > х2 или х < х1

x -b/2a

для всех х

 

D > 0

D = 0

D < 0

х1 < х < х2

нет решений

нет решений

Квадратные неравенства

Реши следующие неравенства(точность вычислений до двух цифр после десятичной

точки): 1 - 28). ... . Ответы. ... (или -או , ни для какого х - х אף , для всех х - хכל )

Реши следующие системы неравенств: 29 - 42). ... (и также -וגם , или - או). Ответы. ...

Найди какие из следующих неравенств справедливы для любых значений х, а какие не выполняются ни для каких х(докажи):

43 - 50). ... . Ответы. ...( ни для какого х - х אף , для всех х - х כל ).

Найди, для каких значений m следующие неравенства выполняются для любых х:

51 - 63, 64* - 67*). ... . Ответы. ... (или -או) .

Квадратные неравенства с корнями. Найди область определения каждой из следующих функций: 1 - 8). ... . Ответы. ... (или -או).

Реши следующие неравенства: 9 - 11, 12* - 17). ... . Ответы. ... (или -או).

Квадратные неравенства с абсолютным значением.

Реши следующие неравенства: 1 - 4, 5* - 10*). ... . Ответы. ... (или -או).

Неравенства с дробями(переменная в знаменателе)

Реши следующие неравенства: 1 - 23, 24*). ... . Ответы. ... (или -או ( .

Реши следующие неравенства: 25 - 27, 28* - 34*). ... . Ответы. ...( или - או).

Найди область определения каждой из следующих функций:

35 - 39, 40*, 41*). ... . Ответы. ...( или - או).

Найди, для каких значений m следующие неравенства выполняются для любых х:

42* - 44*). ... . Ответы. ... (или -או) .

Различные упражнения(неравенства второй степени)

Найди, для каких значений х: 1).значения функции у = -х2 + 6х - 8 больше значений функции у = -х - 2; 2).график функции у = х2 - 2х - 9 не находится ниже прямой у = х+1; 3).график параболы у = -2х2 + х + 1 находится ниже параболы у = х2 - 5х + 4.

Ответы. 1-3). (или -או)... .

Найди, для каких значений m: 4).решение уравнения 3(2m+x)=2(mx-1) - отрицательное; 5).решение уравнения 5(m - x) = 3(mx - 5) - неправильная положительная дробь; 6).прямые у = -х - 1 и у = mx - m пересекаются в третьей четверти; 7).прямые mx + y = m - 2 и -x + 2y = 4 пересекаются во второй четверти; 8*).прямые y = -x + 4m и -x + my = m не пересекаются в четвертой четверти; 9*).прямые y = -x + 4m и у = x - 2m2 пересекаются в точке, находящейся внутри квадрата с вершинами (3, 3), (-3, 3), (-3, -3) и (3, -3). Ответы. (или -או) ... .

Найди, для каких значений m следующие уравнения представляют собой прямую, образующую с положительным направлением оси х(сверху): a).острый угол; b).тупой угол; c).параллельную оси х; d).параллельную оси у.

10, 11). ... . Ответы. ... ( ни для какого m - m אף ) .

Найди, для каких значений m следующие уравнения представляют собой: a).параболу; b).параболу с минимумом; c).параболу с максимумом. 12, 13). ... . Ответы. ...(или - .(או

Реши следующие неравенства: 14, 15). ... . Ответы. ...(или - .(או

Найди, для каких значений m: 16).функция у = (m + 6)x2 - (3m + 2)x + 2 - неотрицательная для любого х; 17).значения функции у = (4m - 12)x2 + (2m - 6)x меньше 1 для всех х; 18).график функции у = (4 - m2)x2 + (2 - 2m)x - 1 не проходит через первую и вторую четверти; 19).график функции у = (m + 2)x2 + 8x + m - 4 весь находится: a).над осью х, b).ниже оси х; 20).график функции у = (m - 3)x2 + 2x + m весь находится: a).над прямой у = 3, b).под прямой у = 3; 21*).функция у = |m|x2 - 2mx - m положительная для любого х; 22*).функция у = |m - 1|x2 - (m - 3)x - m не меньше -1 для любого х; 23).значения параболы у = mx2 + 2mx - 1 больше значений прямой y = x - 2m для любого х; 24).значения функции у = (4m - 1)x2 + (3m + 1)x - 3m - 3 меньше значений функции у = (3m-2)x2 - (2m+1)x - 2m для любого х; 25).значения функции у = |m|x2 - 2x + m2 - 2 больше значений функции у = mx2 - 2x + m для любого х. Ответы. ... (или - (או.

26).Между прямой у = -2х + 10 и осями вписан прямоугольник (Рис. 1). Найди, между какими значениями находится координата х точки Р, если площадь прямоугольника от 8 до 12. Ответ. ... (или - (או.

27).Найди, для каких значений m график функции у = x2 - (2m + 2)x + m2 - 2m - 3

пересекает ось у: a).в ее положительной части; b).ниже прямой у = -3.

Ответ. ... (или - (או.

28).Между графиком параболы у = -x2 + 8x и осью х вписан прямоугольник (Рис. 2). Вычисли, между какими значениями находится координата х точки Р, если периметр прямоугольника находится между 26 и 32(точка Р находится на левой ветви параболы). Ответ.1 < x < 2.

Найди, для каких значений m: 29).вершина параболы у = x2 - mx + 1 находится в третьей четверти; 30).вершина параболы у = (m + 3)x2 - 2(m + 1)x + m находится в первой четверти; 31*).вершина параболы у = x2 + (3m - 1)x + (m - 1)2 не находится во второй четверти; 32*).расстояние от вершины параболы у = mx2 - (m + 1)x + 2 до оси у меньше 1. Ответы. ... (или - (או.

33).Найди, какой должна быть связь между m и n, чтобы функция

у = (n2 + m2)x2 + 2(n - m)x + 1 была положительной для любого х.

Ответ.nm > 0 или n = 0 и также m = 0.

34).Докажи, что не существует m, для которого функция у = (m - 1)x2 + (3m - 2)x + m была бы только положительной или только отрицательной для всех х.

35).Катеты прямоугольного треугольника равны 2m - 1 и m + 2. Найди, для каких значений m гипотенуза этого треугольника была бы меньше 5. Ответ.1/2 < m < 2.

36*).a и b - две меньшие стороны в треугольнике с тупым углом, а c - большая его сторона. Докажи, что функция у = (a2 + b2)x2 - 2acx + c2 - b2 положительная для всех х.

37*).Найди, для каких значений m прямые y = x + m и y = - x + 3m + 4 пересекаются в точке, находящейся в пределах площади, ограниченной графиком параболы у = -х2 + 3х и осью х (в первой четверти). Ответ. -1 < m < 0.

38*).Через точку пересечения параболы y = mx2 + (m - 3)x + 5 с осью у проводят прямую, параллельную оси х. Найди, для каких значений m расстояние между этой прямой и вершиной параболы меньше 1. Ответ. 1 < m < 9.

39*).(Рис. 3) Прямая L, показанная на рисунке, принадлежит семейству линий

y = (m - 1)x2 - 3(m - 1)x + m + 3. a).Найди уравнение прямой. b).Докажи, что парабола, изображенная на рисунке и касательная прямой L, не принадлежит указанному семейству линий. Ответ. a). y = 4.

40*).Дано семейство функций y = (m - 1)x2 + mx + m + 1. Найди уравнение прямой, принадлежащей этому семейству, и докажи, что любая парабола, принадлежащая семейству, находится вся над этой прямой или вся под ней. Ответ. y = x + 2.

Задачи с неравенствами (второй степени)

1).Человек прошел 12 км с определенной скоростью. На обратном пути он замедлился на 3 км/ч, поэтому его возвращение потребовало больше времени - более чем на 2 часа. Найди, в какой числовой области находится его первоначальная скорость. Ответ. Между 3 и 6 км/ч.

2).Сумма двух целых чисел равна 12, а произведение больше 27 и меньше 35. Найди эти числа. Ответ. 4 и 8.

3).(Рис. 4 2 м. 2 м.)Окно квадратной формы со стороной 2 м. составлено из двух видов стекла. Первый вид состоит из двух квадратов(заштрихованная площадь), его кв.м. стоит 60 шекелей; второй вид состоит из двух одинаковых прямоугольников, его кв.м. стоит 10 шекелей. Найди, в какой числовой области находятся длины сторон одинаковых прямоугольников, если цена стекла всего окна меньше 189 шекелей. Ответ. Длина сторон между 0.3 м. и 1.7 м.

4).Необходимо огородить по фасаду и с двух его сторон прямогульный участок площадью 120 кв.м. Цена установки метра забора по фасаду 16 шекелей, а по боковым сторонам - 10 шекелей. Найди, в какой числовой области находятся длины сторон участка, если цена установки всего забора меньше 400 шекелей.

Ответ. Боковая сторона - между 8 и 12 м, фасадная - между 10 и 15 м.

5).Один кг помидор на шекель дешевле, чем кг огурцов. Домохозяйка купила огурцов на 3 кг больше, чем помидор. Она заплатила 60 шекелей за помидоры и меньше 90 шекелей за огурцы. Найди, в каких числовых областях находятся число кг помидор и огурцов. Ответ. Помидоры - между 12 и 15, огурцы - между 15 и 18.

6).Скорость нагруженного судна в стоячей воде составляет 8 км/ч, а пустого - 15 км/ч. Загруженное судно выходит вверх по реке(против течения) на расстояние 90 км, а возвращается пустым(по течению). Продолжительность плавания туда и обратно, включая 2 часа стоянки для разгрузки, меньше 25 часов. a).Найди, в какой числовой области находится скорость течения. b).Какова минимальная продолжительность рейса, включая разгрузку? Ответ.a).Между 0 и 3 км/ч. b).19.25 часа.

7).Сплав состоит из 7 грамм серебра и некоторого количества золота. Если его сплавить с еще 5 граммами серебра, то содержание последнего в сплаве возрастет меньше чем на 10%. Найди, в какой числовой области находится количество золота в исходном сплаве. Ответ. Между 0 и 3 граммами или более 28 грамм.

8).Алкогольная смесь состоит из некоторого объема воды и 3 литров чистого алкоголя. При добавлении в эту смесь 10 литров алкоголя содержанием 50% процент алкоголя возрастает не менее чем на 10%. Найди, в какой числовой области находится количество воды в исходной смеси. Ответ. Между 7 и 27 литрами.

9).Рабочий изготовил в постоянном темпе 60 деталей. Затем он снизил свою производительность на одну деталь в час и изготовил еще 75 деталей. Его средняя производительность оказалась меньше 5.4 деталей в час. Найди, в какой числовой области находилась его производительность при изготовлении первых 60 деталей. Ответ. Между 1 и 6 деталями в час.

10).Грузовик выходит из одного города и едет в другой(расстояние 400 км) с заранее предусмотренной постоянной скоростью. Через два часа из-за поломки он простоял полчаса, а потом ускорился на 10 км/ч и прибыл во второй город, опоздав менее чем на 10 минут против предусмотренного. Найди, в какой числовой области находится скорость грузовика до поломки. Ответ. Между 0 и 80 км/ч.

11).На прямом шоссе находятся три пункта А, В и С. Расстояние от А до В - 30 км, а от В до С - 90 км. Машина вышла из А и поехала в С с постоянной скоростью. Через час из В в С вышла вторая машина со скоростью на 20 км/ч больше скорости первой. Машина, которая вышла из В, прибыла в С раньше машины, вышедшей из А, опередив ее более чем на полчаса. Найди, в какой числовой области находятся скорости машин, вышедших из А и из В.

Ответ. Машина из А - между 0 и 40 км/ч, машина из В - между 20 и 60 км/ч.

12*).Пешеход прошел сперва 10 км , а затем еще 18 км. Второй отрезок его пути был на час дольше, чем первый. Найди, в какой числовой области находится время, за которое он прошел весь путь, если его скорость на втором отрезке была выше более чем на 1 км/ч скорости на первом отрезке. Ответ. Между 5 и 11 часами.

13*).Расстояние между А и В - 45 км. Два велосипедиста одновременно вышли - один из А в В, другой из В в А и двинулись навстречу друг другу. Через час они еще не встретились, а расстояние между ними было больше 12 км. Велосипедист из А затратил на путь до В меньше на полчаса, чем велосипедист из В на путь до А. Найди, в какой числовой области находятся скорости велосипедистов. Ответ. Велосипедист из А - между 0 и 18 км/ч, велосипедист из В - между 0 и 15 км/ч.

14*).Два крана заполняют вместе бассейн за 4 часа. Когда бассейн на 2/3 наполняется только одним краном, а на 1/3 - только вторым, то наполнение длится меньше 10 часов. Найди, в какой числовой области находится время, за которое каждый кран может один наполнить бассейн. Ответ. Первый кран - между 5 и 12 часами, второй кран - между 6 и 20 часами.

15*).Велосипедист выходит в 6.00 из кибуца в Афулу(расстояние 25 км). Через некоторое время из того же кибуца в Афулу выходит другой велосипедист со скоростью на 5 км/ч больше первого. Второй велосипедист догнал первого до Афулы. Первый велосипедист добирается до Афулы через час после того, как второй нагнал его. Найди, в какой числовой области находится скорость первого велосипедиста, если второй вышел в путь: a).после 6.30; b).между 6.00 и 6.30.

Ответ. a).Между 0 и 10 км/ч. b).Между 10 и 25 км/ч.

Неравенства третьей и более степеней

Реши следующие неравенства: 1 - 10, 11*, 12*, 13). ... . Ответы. ... (или - (או.

Доказательство неравенств

Докажи каждое из следующих неравенств согласно условия, записанного слева от него: 1 - 12, 13*, 14 - 18, 19* - 25*, 26**, 27**, 28* - 33*, 34** - 37**). ... .

 

Упражнения для главы 4. Исследование уравнений

Исследование уравнения первой степени с одним неизвестным

Число решений уравнения ax = b (см. стр. 42): a).Если a 0, то уравнение имеет единственное решение x = b/a. b).Если a = 0 и b 0, то уравнение не имеет решения. c).Если a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечное число решений.

Найди, для каких значений m (если таковые имеются) у следующих уравнений есть a).единственное решение; b).нет решения; c).бесконечное число решений:

1 - 27, 28* - 30*). ... . Ответы. ... .

Исследование систем уравнений первой степени

Число решений системы уравнений a1x+b1y = c1 и a2x+b2y = c2(см. стр. 44): a).Если a1/a2 b1/b2, то система имеет единственное решение. b).Если a1/a2 = b1/b2 c1/c2, то система не имеет решения. c).Если a1/a2 = b1/b2 = c1/c2, то система имеет бесконечное число решений.

Найди, для каких значений m (если таковые имеются) у следующих уравнений есть a).единственное решение; b).нет решения; c).бесконечное число решений:

1 - 15, 16*). ... . Ответы. ... .

В следующих упражнениях даны уравнения двух прямых. Найди, для каких значений m (если таковые имеются) они: a).пересекаются; b).параллельны; c).совпадают.

1 - 21). ... . Ответы. ... (для всех m - m כל ).

22).Даны прямые x - 2y = m - 7, -2x + 3y = m, 3x - 5y = 1 - 2m. a).Докажи, что среди них нет двух параллельных друг другу прямых. b).Найди, для какого значения m эти прямые пересекаются в одной точке. Ответ. b). m = 4.

23).Даны три прямые (a)x + y = 0, (b)x + my = k, (c)x + ny = L. Следующие рисунки описывают различные позиции трех этих прямых (без координатных осей). (Рис.1 a - d, e*, f*) Найди возможные ограничения на значения m, k, n и L на каждом рисунке. Ответ. ... .

24).Найди для каких значений m уравнение (m2 - m - 2)y = (m2 - 1)x + m2 a).не есть прямая; b).представляет собой прямую, параллельную прямой 2у - 3х = 5; найди ее уравнение. Ответ. a). -1; b).4, 10y - 15x = 16.

25).Найди, для каких значений m уравнение (m2 - m - 6)y = (m2 - 4m + 3)x + 1 представляет прямую, параллельную прямой a).y - 2x = 1; b*).5y - 2x = 0.

Ответ. a). -5; b).ни для какого m.

26).a).Найди, для какого значения m у системы уравнений 3x-5m2y=m-1, -3x+5my=1 имеется бесконечное множество решений. b).Найди два различных решения из этого бесконечного множества. c).Найди, для какого значения m у системы не будет решений. Ответ. ... .

27).Дана система уравнений (m - 2)x - y = m, 6x - (m - 3)y = 10. a).Найди, для какого значения m у этой системы имеется бесконечное число решений. b).Напиши решение в параметрическом виде, если имеется бесконечное число решений. c).Найди два различных решения для случая бесконечного числа решений. Ответ. ... .

28*).Дана система уравнений x + 2y - z = 8, 2x - y + 3z = 6, 5x - 5y + 10z = m. a).Найди, для какого значения m у этой системы имеется бесконечное число решений. b).Найди два различных решения для m, которое ты нашел в вопросе a. Ответ. ... .

29*).Дана система уравнений x + z = 3, y + mz = 5, x - my = 8. a).Найди, для какого значения m у этой системы нет решения, и для каких m имеется единственное решение. b).Найди m, если дано, что в единственном решении х = 1. Ответ. ... .

30*).Дана система уравнений x - 2y + z = 0, 2x + y - z = 10, 4x - 3y + m2z = 10. a).Найди, для каких значений m у этой системы бесконечное число решений. b).Покажи, что для всех значений m, кроме найденных в a, всегда получается одно и то же решение системы и найди его. Ответ. ... .

31*).Дана система уравнений 2x - y - z = 0, x + y - 2z = 12, (m2 - 5)x + y = m + 2. a).Найди, для каких значений m у этой системы (1)единственное решение, (2)нет решения, (3)бесконечное число решений. b).Найди два различных решения системы для случая (3). c).Напиши решение в параметрической форме (обозначь x = m) для случая (3). Ответ. ... .

32*).Дана система уравнений 2x - 3y + z = 3, 4x - 6y + 2z = m2 - m. a).Найди, для каких значений m у этой системы бесконечное число решений. b).Напиши параметрическое решение для случая их бесконечного числа. c).Найди два различных решения для предыдущего случая. Ответ. ... .

33*).Дана система уравнений x - y + z = -3, x + 4y + z = m. a).Найди, для каких значений m у этой системы бесконечное число решений. b).Напиши решение в параметрической форме, если m = 7. Ответ. a).Для любого m. b).(t, 2, -t - 1).

Исследование квадратных уравнений - формулы Виета

Формулы Виета (см. стр. 47): x1 + x2 = -b/a x1x2 = c/a

Квадратное уравнение с корнями a и b: (см. стр. 47): x2 - (a + b)x + ab= 0

Найди квадратное уравнение со следующими корнями: 1 - 10). ... . Ответы. ... .

Дано уравнение x2 + 5x + 3 = 0, корни которого a и b. Найди без вычисления корней, квадратные уравнения с такими корнями: 11 - 22). ... . Ответы. ... .

Дано уравнение 2x2 - 3x - 2 = 0 с корнями a и b. Не решая его, найди квадратные уравнения с корнями: 23 - 30, 31*). ... . Ответы. ...(нет решения - ,אין פתרון или - (או .

a и b есть корни уравнения ax2 + bx + c = 0. С помощью a, b и c вырази следующие выражения: 32 - 37). ... . Ответы. ... .

Найди квадратные уравнения, для корней которых a и b выполняется:

38, 39, 40*, 41*). ... . Ответы. ... .

В следующих уравнениях дан один корень. Найди m и второй корень:

42 - 45). ... . Ответы. ...(или - (או .

Найди m корни следующих уравнений согласно задания(a и b - корни): 46).Один из корней уравнения x2 - 7x + m = 0 больше второго на 3. 47).Сумма корней уравнения mx2 - (m + 4)x + 4 = 0 равна 5. 48).Произведение корней уравнения mx2 - (m + 4)x + 4 = 0 равно -6. 49).Один из корней уравнения x2 - (m + 5)x + 4m + 2 = 0 больше второго вдвое. 50).Один корень уравнения (m + 1)x2 + (2m + 3)x + 2m = 0 равен значению, обратному второму корню. 51).Сумма квадратов корней уравнения (m + 1)x2 + (2m + 3)x + 2m = 0 равна 10. 52).Сумма обратных значений корней уравнения 2x2 - mx + m2 - 8 = 0 равна 3. 53).Корни уравнения x2 - (m + 3)x + 3m + 1 = 0 отвечают равенству a/b + b/a = 2. 54).Корни уравнения mx2 + (2m + 1)x + m - 1 = 0 отвечают равенству b = 2a - 3. 55*).Корни уравнения 2x2 - (m - 1)x + 2m - 1 = 0 выполняют равенство 3a + 2b = -2 . Ответы. ...(или - (או .

Корни уравнения ax2 + bx + c = 0 (a 0) есть a и b. Вырази с их помощью следующие выражения: 56 - 58, 59* - 61*). ... . Ответы. ... .

Найди квадратное уравнение, корни которого есть a и b, если дано, что корни уравнения 2x2 - 5x + 1 = 0 таковы: 62*, 63*). ... . Ответы. ...(или - (או .

Исследование квадратных уравнений - число действительных корней

Число действительных корней уравнения ax2 + bx + c= 0 (a 0, D = b2 - 4ac):

a).Два корня - D > 0. b).Один корень(два одинаковых) - D = 0. c).Нет корней - D > 0.

Условия, что оба вещественных корня уравнения ax2+bx+c=0(a 0) (см. стр. 48-50):

a).разного знака - D > 0 c/a < 0

b).одного знака - D > 0 c/a > 0

c).оба положительные - D > 0 c/a > 0 -b/a > 0

d).оба отрицательные - D > 0 c/a > 0 -b/a < 0

Найди, для каких значений m у следующих уравнений есть два различных вещественных корня: 1 - 8). ... . Ответы. ... (или - (או .

Найди, для каких значений m у следующих уравнений нет вещественных корней: 9 - 12). ... . Ответы. ... (или - (או .

Найди для каждого из следующих уравнений a).для каких значений m оба корня совпадают; b).и чему равны эти корни для каждого из найденных в a значений m: 13 - 20). ... . Ответы. ... .

Найди для каждой из следующих функций a).для каких значений m есть у графика функции и оси х только одна общая точка; b).найди эту общую точку для каждого из найденных в a значений m: 21 - 26). ... . Ответы. ... .

Найди, для каких значений m у следующих уравнений есть два различных вещественных корня с противоположными знаками: 27 - 32). ... . Ответы. ... (или - (או .

Найди, для каких значений m корни следующих уравнений - различные, вещественные и положительные: 33 - 40). ... . Ответы. ... (или - (או .

Найди, для каких значений m корни следующих уравнений - различные, вещественные и отрицательные: 41 - 48). ... . Ответы. ... (или - (או .

Найди, для каких значений m каждая из следующих функций пересекает ось х в двух различных точках, находящихся a).по обе стороны от начала координат; b).с одной стороны от начала координат; c).справа от начала координат; d).слева от начала координат: 49 - 52). ... . Ответы. ... (или - ,או ни для какого m - m אף ).

Найди для каких значений m у следующих уравнений a).два различных вещественных корня; b).два положительных корня; c).два отрицательных корня:

53* - 56*). ... . Ответы. ... (или - ,או ни для какого m - m אף ).

Различные упражнения (исследование квадратного уравнения)

1).Дана функция у = mx2 - (2m + 2)x + m + 4. a).Найди, для каких значений m график функции пересекает ось х в двух различных точках. b).Найди, для каких значений m две этих точки пересечения находятся с одной стороны от начала координат (0, 0). Ответ. ...(или - (או .

2).a).Докажи, что для любого значения m уравнение x2 + (m + 5)x + 4 - m2 = 0 имеет два различных вещественных корня. b).Найди второй корень уравнения, если один из них равен 0. Ответ. ...(или - (או .

3).a).Найди, для каких значений m уравнение 4x2 + (3m + 5)x + m2 + 3 = 0 имеет хотя бы один вещественный корень. b).Докажи невозможность того, чтобы один его корень был положительным, а второй - отрицательным Ответ. ... .

4).a).Найди, для каких значений m график функции y=(m+2)x2-(3m+2)x+7-m пересекает прямую у = 1 в двух различных точках. b).Для каких значений m есть у ее графика одна общая точка с указанной прямой? Найди и эту точку. Ответ. ...(или - (או.

5).Найди, для каких значений m корни уравнения x2 - (2m - 5)x + m - 4 = 0 обладают противоположными знаками, а корень с наибольшим абсолютным значением - положительный. Ответ. ... .

6).Дано уравнение x2 + (m2 + m - 2)x + m2 - m + 6 = 0. a).Найди, для какого значения m один корень равен нулю, а другой - отличен от нуля. Чему равен последний корень? b).Для какого значения m корни разные, но обладают одинаковыми абсолютными значениями. Чему эти корни равны? Ответ. ... .

7).Дана функция y = 3x2 - (3m - 2)x + m - 1. a).Найди, для каких значений m функция пересекает ось х в двух различных точках. b).Докажи, что одна из точек пересечения - постояннная(какова она?), и найди, для каких значений m вторая точка пересечения находится справа от постоянной точки пересечения. Ответ. ... .

8).Дана функция y = 2x2 - (3m - 1)x + m2 + 1. Найди, для каких значений m: a).График функции пересекает ось х в двух разных точках. b).График функции весь находится над прямой у = -6. c).Оба условия из a и b действуют вместе. Ответ. ... (или - (או.

9).a).Найди, для каких значений m график функции y = (m - 2)x2 + 4x + m + 1 весь находится под осью х. b).Найди, для каких значений m график функции находится ниже оси х и также сечет прямую у = -1 в двух различных точках. Ответ. ... .

10).Дана функция y=(m-1)x2-(2m-2)x+9-m. a).Найди, для каких значений m график функции весь находится под осью х. b).Для каких значений m график функции находится над осью х и также сечет прямую у = 4 хотя бы в одной точке. Ответ. ... .

11).a).Найди, для каких значений m уравнение x2 + 2mx + 3m - 2 = 0 имеет два вещественных отрицательных корня. b).Покажи, что не существует такого m, для которого получались бы два положительных корня. Ответ. ... (или - (או.

12).a).Найди, для каких значений m уравнение (1/(m - 1))x2 + 3x + 2m - 3 = 0 имеет хотя бы один вещественный корень. b).Найди, для каких значений m хотя бы один корень - неотрицательный. Ответ. ... (или - (או.

13*).Найди, для каких значений m уравнение (2m-3)x2+(m+4)x+2m+5=0 имеет: a).хотя бы один положительный корень; b).хотя бы один отрицательный корень. Ответ. ... .

Найди, для каких значений m есть у графиков следующих функций a).одна общая точка; b).две общие точки: 14).y = 2x и y = x2 - 2mx + m2. 15).y = x - m и y = mx2 - x. 16).y = x - m + 2 и y = (m - 1)x2 + 3mx + 7. Ответ. ... (или - (או.

17*).Дана гипербола y = a/x (a > 0) и прямая y = mx + n. a).Найди уравнение, связывающее a, m и n, которое позволит найти общие точки гиперболы и прямой. b).Докажи следующие утверждения о числе общих точек наших гиперболы и прямой и проверь каждый случай графически: (1)если m > 0, имеется две общие точки; (2)если m = 0, общих точек - одна или ни одной; (3)если m < 0, то общих точек - или две, или одна, или ни одной. Ответ. ... .

18*).Докажи, что значения функции y = x/(x2 + x + 1) находятся между -1 и 1/3(включая -1 и 1/3). Указание: обозначь у = m.

19*).Найди область значений, которые функция y = (2x2 - x)/(3x2 + x + 1) может принимать. Ответ. ... .

Докажи, что у следующих уравнений есть хотя бы один вещественный корень для любых a и b: 20, 21, 22*, 23*). ... .

24).a, b, c есть стороны треугольника. Докажи, что уравнение x2 + 2(a + b)x + c2 = 0 всегда имеет два различных вещественных корня.

25).Дано уравнение ax2 + 2cx + b = 0, в котором a и b - длины катетов прямоугольного треугольника и c - длина его гипотенузы. Докажи, что это уравнение всегда имеет, как минимум, одно вещественное решение, и найди, в каком треугольнике получается единственное решение.

26).Докажи: уравнение ax2 + 3x + 2b = 0 имеет хотя бы одно вещественное решение для любых a и b, если выполняется 2a + b = 3.

27*).Докажи: уравнение sin2ax2 + x + cos2a = 0 имеет хотя бы одно вещественное решение для любго угла a.

28*).Дано, что уравнение ax2 + 2abx + b = 0 имеет два различных вещественных корня одного знака. Докажи, что уравнение ax2 + 2x + b = 0 не имеет вещественных корней.

29*).Даны уравнения bx2 + 2cx + a = 0 и cx2 + 2ax + b = 0, где a, b и с - положительные, а у каждого его корни - различные, вещественные. Докажи, что уравнение ax2 + 2bx + c = 0 не имеет вещественных корней.

30*).Дано, что уравнения x2 + 2x + ab - 2 = 0 и x2 + 2ax - ab - 2 = 0 имеют каждое по два различных вещественных корня с противоположными знаками. Докажи, что уравнение x2 + 2abx + 4 = 0 не имеет вещественных корней.

Докажи, что у следующих уравнений есть у каждого по два вещественных корня для любых a, b и c (a b) : 31**, 32**). ... .

33).a и b есть корни уравнения x2 - mx + n - 5 = 0, а a + 3 и b + 3 - корни уравнения x2 - 3mx + 4n + 1 = 0. Найди m и n. Ответ. ... .

Найди a и b, если они являются корнями уравнения: 34, 35). ... . Ответ. ... (или - (או.

36).Дано уравнение 7x2 - 56x - 10 = 0. Не решая уравнения докажи, что один из его корней больше 8-и.

37).a и b есть вещественные корни уравн