Make your own free website on Tripod.com

אלגברה(4 ו- 5 יחידות לימוד'). בני גורן

לתלמידי בתי ספר תיכוניים במגמות הביולוגית והריאלית, לנבחנים חיצוניים

ללומדים במכינות האוניברסטאיות, למתכוננים לבחינות כניסה לטכניון ולאוניברסיטה

כל הזכויות שמורות להוצאת המעבר(לבני גורן)

 

Алгебра (на 4 и 5 единиц обучения). Бени Горен

Предназначена ученикам средних школ с биологическим и естественным уклоном, внешним(?) экзаменуемым, учащимся университетских подготовительных курсов, готовящимся к вступительным экзаменам в технион и университет

Предисловие

Эта книга содержит в себе весь учебный материал по алгебре на 4 и 5 единиц обучения в соответствие с учебной программой Минпроса. Книга предназначена ученикам средних школ биологического и естественного уклона, а также ученикам подготовительных курсов университетов. Кроме того этой книгой могут воспользоваться учащиеся, которые готовятся ко вступительным экзаменам в Технион или в Университет. Книга состоит из двух частей: часть a - теория и примеры, часть b - упражнения. Первая часть содержит теоретические объяснения учебного материала и решенные примеры. Вторая часть содержит исключительно упражнения в порядке, соответствующем порядку параграфов и глав первой части. В каждой из частей 13 глав.

Первая глава - функции и графики

Вторая глава - задачи

Третья глава - неравенства

Четвертая глава - исследование уравнений

Пятая глава - темы аналитической геометрии

Шестая глава - степени и корни

Седьмая глава - логарифмы

Восьмая глава - арифметическая прогрессия

Девятая глава - геометрическая прогрессия

Десятая глава - последовательности общего вида

Одинадцатая глава - математическая индукция

Двенадцатая глава - комплексные числа

Тринадцатая глава - комбинаторика и бином Ньютона.

В конце книги имеется приложение - перечень формул. Оно содержит все формулы алгебры, тригонометрии и стереометрии.

Следует обратить внимание на то, что пятая глава (разделы аналитической геометрии) появляется в книжке и предназначается только для учеников на 4 единицы обучения. Вместе с тем возможно, что и ученики на 5 единиц , которые изучают аналитическую геометрию как отдельную дисциплину, используют материал, в ней заключенный, т.к. он появляется и в их программе обучения. В дополнение к этому следует подчеркнуть, что главы двенадцатая(комплексные числа) и трринадцатая(комбинаторика и бином Ньютона) предназначены только для учеников на 5 единиц.

В книжке обсуждаются и темы, выходящие немного за пределы обычной программы обучения, они обозначаются обычно через *(и в теоретической части и в упражнениях). Часть дополнительных тем появляется по новой программе, это: система аксиом (Е), система аксиом (L) и применения показательных и логарифмических функций. Другие дополнительные темы: алгебраические уравнения и размещения с повторениями и сочетания с повторениями в комбинаторике.

В части b(упражнениях) многие упражнения начинаются с легких и продолжаются до трудных, отмечаемых знаком *(предназначенных обычно, но не всегда, для учеников на 5 единиц). Особенно трудные упражнения обозначаются через **.

Благодарности и пожелания ....

Бени Горен

 

Часть a. Теория и примеры

 

Глава 1. Функции и графики

Определение функции

В этом параграфе определим понятие функции. Чтобы сделать это, необходимы два множества элементов(не обязательно различных). (Мы не сможем здесь в точности определить, какое это множество, и будем рассматривать его как совокупность элементов - чисел, хотя определение будет относиться и к элементам, которые не обязательно являются числами). Одно множество называется областью существования функции, а другое - интервалом(областью) ее значений.

Первое определение функции - соответствующее отображение каждого элемента в области существования функции в один единственный элемент в области значений функции и называется функцией. Если множества области существования и значений есть числовые множества, то в выше приведенном определении элемент это число. В таком случае принято обозначать значения области существования через х, а значения области значений, получаемых в результате приведения к соответствию, через у. Еще одно определение функции, относящееся к числам, таково:

Второе определение функции - переменная у есть функция переменной х, если между ними существует правило соответствия такое, что установление значения переменной х(принадлежащего области существования функции) устанавливает единственным образом значение переменной у (принадлежащего области значений функции).

Переменная х называется независимой переменной(или аргументом), а переменная у называется зависимой переменной.

Между двумя этими определениями нет принципиальной разницы. По первому определению функция есть соответствие или связь между переменными, а по второму - зависимая переменная есть функция от независимой переменной.

Замечания.

a).Обычно мы будем заниматься функциями вещественных чисел от вещественных чисел. (Вещественные числа это все числа, которые принадлежат числовой оси и включают в себя рациональные числа, т.е. такие, которые можно записать в виде n/m, где n и m - целые, а m 0, а также ирациональные числа, которые нельзя записать в форме дроби, например, 2). Если х обозначет значения области существования, а у - значения области значений, то принято обозначение y = f(x), т.е. у есть функция от х. Например функция y = f(x) = 2x, областью существования которой являются все вещественные числа, ставит в соответствие любому числу х вдвое большее число 2х. Например, если х = 1, то ясно, что у = 2. Принято записывать это так: f(1) = 2.

b).Согласно определению функции исключается, чтобы одному элементу области существования было поставлено в соответствие более одного элемента области значений функции. К примеру, уравнение у2 = х не представляет собой функцию, т.к. каждому положительному х соответствует два различных значения у. (Например, х = 4 соответствуют у = 2 и у = -2). Вместе с тем разрешено соответствие двух или более элементов области существования одному элементу области значений. Например, уравнение у = х2 представляет собой функцию, здесь каждому положительному у ставится в соответствие два различных значения х. (Например, у = 4 соответствуют х = 2 и х = -2).

c).В определенных случаях мы будем заниматься, даже если это не будет подчеркиваться явным образом, функциями, которые определены только для натуральных чисел(т.е. целых и положительных одновременно).

Других примечаний, характеризующих понятие функции, мы на этом этапе привести не можем.

Область определения функции

Возможно, конечно, что функция не может быть определена для всех чисел. Если так, определим:

Область определения функции. Все числа, которые переменная х может принимать при том, что у функции f(x) есть смысл, т.е. функция f(x) определена для них, называют областью определения функции.

Примеры. Найди область определения каждой из следующих функций: a).y = 3x - 2; b).y = 2x/(x - 2); c).y = 1/(x2 - 3x); d).y = x2/(|x| - 1).

Решения. a).Легко видеть, что функция y = 3x - 2 определена для любого х; b).Функция y = 2x/(x - 2) не определена, когда ее знаменатель равен нулю, это происходит, когда х = 2. Поэтому областью определения являются все числа, кроме х = 2. Это принято записывать так: х 0. c).Чтобы найти область определения функции y = 1/(x2 - 3x), приравняем нулю ее знаменатель x2 - 3x. Получается квадратное уравнение, решения которого есть х1 = 0 и х2 = 3. Поэтому область определения есть х1 0 и х2 3. d).Если приравнять нулю знаменатель функции y = x2/(|x| - 1), то получим |x| = 1. Искомые решения есть х1 = 1 и х2 = -1. Поэтому область определения есть х 1.

Примечание. В дальнейшем мы увидим дополнительные примеры нахождения области определения функций.

Арифметические действия над функциями. С функциями можно производить обычные арифметические действия вроде сложения, вычитания, умножения и деления. Если f(x) и g(x) - две функции, то можно говорить о таких действиях: у = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x), y = g(x) - f(x), y = f(x)g(x), y = f(x)/g(x) (g(x) 0), y = g(x)/f(x) (f(x) 0).

К примеру, если f(x) = x + 1, а g(x) = x2 - x, то функция их суммы есть y = ... = x2 + 1. Аналогично можно найти остальные функции.

Примечание. Следует обратить внимание на то, что область определения функции, которая получается из f(x) и g(x) посредством арифметических операций, включает в себя и область определения f(x) и область определения g(x). Например, если f(x) = 1/x, а g(x) = x/(x - 2), то область определения функции у = f(x)g(x) есть х 0 и х 2. Сама функция получается такой: у = f(x)g(x) = x/(x2 - 2x). Можно сократить и записать у = 1/(х - 2), но обязаны в этом случае подчеркнуть, что область определения есть х 2 и также х 0.

 

Функции первой степени

Явное уравнение прямой. Функция, в которой связь между переменными х и у дается уравнением первой степени, называется функцией первой степени. Графическим описанием такой функции является прямая линия, поэтому она называется также линейной функцией. Если дано уравнение первой степени с двумя переменными х и у, то можно извлечь из него выражение у. Если так, то дадим определение:

Явное уравнение прямой. Функция вида y = mx + n, где m и n - постоянные параметры, называется явным уравнением прямой.

Если m 0, то х присутствует в первой степени, а если m = 0, то х отсутствует в выражении функции и она принимает вид у = n. Это - постоянная функция, которая не зависит от х. (Существует также случай, когда m не определено, - см. стр. 18).

Графическое описание функции y = mx + n есть прямая линия, параметр m называется угловым коэффициентом прямой. (Если m = 0 и также n = 0, прямая совпадает с осью х).

Например, если уравнение прямой 2у + х = 6 и хотят найти m и n, надо сперва исключить у. Т.е. представить уравнение прямой в явной форме. Получаем у = -1/2х + 3, поэтому m = -1/2 и n = 3.

Примечание. Существует также уравнение прямой вида Ах + Ву + С = 0(см. стр. 19).

Графическое описание прямой. Для описания графика прямой в системе координат можно использовать таблицу. Подставляем(в уравнение) значения х и вычисляем соответствующие им значения у. Каждая пара таких значений есть точка(на графике). Другой способ состоит в нахождении точек пересечения прямой с осями.

Пересечение прямой с осью х. Если подставить х = 0 в уравнение y = mx + n, получим y = n, это говорит о том, что прямая пересекает ось у в точке (0, n). Т.е параметр n показывет в какой точке прямая пересекает ось у. Если n = 0, то прямая проходит через начало координат (0, 0).

Пересечение прямой с осью у. Если подставить у = 0 в уравнение прямой, то получим mx + n = 0. Если m 0, то х = -m/n, получим y = n, т.е. прямая пересекает ось х в точке (-n/m, 0). Если m = 0, а n 0, то прямая параллельна оси х и не пересекает ее.

Пример. Найди координаты точек пересечения прямой у = 2х - 4 с осями и начерти ее график.

Решение. Точка пересечения с осью у(х = 0) есть (0, -4). Точка пересечения с осью х(у = 0) есть (2, 0). Между двумя этими точками проводим прямую. (Рис.1)

Свойства углового коэффициента m

Коэффициент m устанавливает наклон прямой в соответствие со следующими правилами:

a).(Рис.2)Если m положительный(m > 0), то прямая образует острый угол (a) с положительным направлением оси х сверху.

b).(Рис.3)Если m отрицательный(m < 0), то прямая образует тупой угол (a) с положительным направлением оси х сверху.

c).(Рис.4)Если m = 0, то прямая параллельна оси х. (Указанный выше угол равен 0).

d).По мере роста m возрастает и угол (a), который прямая образует с положительным направлением оси х сверху(это утверждение верно отдельно для m > 0 и отдельно для m < 0).

Прямая параллельная оси у. Явное уравнение прямой y = mx + n годится для любой прямой, кроме прямой параллельной оси у. Угловой коэффициент такой прямой не определен, и ее уравнение есть х = K (K - постоянная), эта прямая сечет ось х в точке (K, 0). (Рис. 5)

Примечание. Еще существуют функции, графическое описание которых складывается из существования ряда прямых. Например, функции, определенные в разделенной области, вроде у = 2х, если х 1, и у = х + 1, если х < 1; или функции, определенные с помощью абсолютного значения, вроде y = |x - 1|. (Относительно областей вроде х 1 см. на стр. 31).

Графическое решение системы уравнений. Систему из двух уравнений первой степени можно решать с помощью графического описания. Нанесем на систему координат две прямые, представляющих заданные уравнения. Координаты точки пересечения двух прямых и есть решение системы.

Примечание. Можно, конечно, решать графическим способом два уравнения, которые не обязательно будут первой степени. Графический способ решения важен в основном тогда, когда нельзя решить уравнения алгебраическим способом(см. стр. 70).

Общее уравнение прямой. Приведем теперь общее уравнение прямой. Рассмотрим уравнение Ах + Ву + С = 0 (А, В и С - параметры) и исследуем следующие случаи:

a).В 0. Тогда исключим у и получим уравнение у = -(А/В)х - С/В, т.е. явное уравнение прямой, угловой коэффициент которой m = -A/B, а параметр n = - C/B.

b).В = 0, А 0. Имеет место уравнение Ах + 0у + С = 0 или Ах + С = 0, т.е. х = -С/А. Это уравнение прямой, параллельной оси у (вида х = K), секущей ось х в точке (-С/А, 0).

c).А = 0, В = 0. Но тогда и С = 0. Уравнение прииобретает вид 0х + 0у = 0, которому удовлетворяет любая точка (х, у). Потому ее изображение есть вся плоскость. Но если С 0, то получается, что 0х + 0у 0. Т.е. не существует ни одной точки (х, у), которая бы удовлетворяла этому неравенству. Т.е. получено пустое множество.

Резюме. Уравнение Ах + Ву + С = 0 называется общим уравнением прямой, оно представляет прямую за исключением случая А = В = 0.

А если явное уравнение прямой у = mx + n, то его общее уравнение есть mx + (-1)y + n = 0. Т.е. А = m, B = -1, C = n. Если же уравнение прямой х = K, то общим будет уравнение 1x + 0y - K = 0. Т.е. А = 1, В = 0, С = -K.

Примечание. Явное уравнение у = mx + n является единственным, т.е. если имеют место два уравнения одной прямой y = m1x + n1 и y = m2x + n2 , то обязательно m1=m2, а n1 = n2 . А вот общее уравнение Ах + Ву + С = 0 - не единственное. Например, уравнения х + у + 1 = 0 и 2х + 2у + 2 = 0 описывают одну и ту же прямую.

 

Функция второй степени

Парабола. Обсудим сначала функцию вида y = ax2 + bx + c, где a 0. В этом случае х присутствует во второй степени и сама функция является функцией второй степени. (Если а = 0, получается уравнение прямой). Графическое изображение такой функции называется параболой. У параболы существует особая точка, в которой: функция принимает наименьшее значение (минимум), это происходит, когда а > 0, или наибольшее значение(максимум), что происходит, когда a > 0. Указанная точка называется вершиной параболы. Координату х вершины можно найти с помощью формулы:

x = -b/(2a)

Парабола состоит из двух симметричных относительно прямой x = -b/(2a) ветвей. Указанная пррямая, ортогональная оси х, называется осью симметрии параболы.

Нахождение координат вершины параболы. Чтобы найти координаты вершины осуществим дополнение до квадрата и получим:

y = ax2 + bx + c = ... = a(x + b/(2a))2 + c - b2/(4a)

Выражение c - b2/(4a) постоянно и не зависит от х. Разберемся с такими случаями:

a).Если a > 0, то выражение a(x + b/(2a))2 положительно для любого х кроме случая х = -b/(2a), тогда оно равно нулю, и это числовое значение является наименьшим из всех, которые оно может принять. Поэтому наименьшее значение у = c - b2/(4a) получается, когда x = -b/(2a).

b).Если a < 0, то выражение a(x + b/(2a))2 отрицательно для любого х кроме случая х = -b/(2a), тогда оно равно нулю, и это числовое значение является наибольшим из всех, которые оно может принять. Т.е. наибольшее значение у = c - b2/(4a) получается, когда x = -b/(2a). Резюме - координаты вершины параболы:

x = -b/(2a), у = c - b2/(4a)

Графическое описание параболы. Чтобы изобразить график параболы, надо сначала найти координаты ее вершины. После этого строим таблицу. (Желательно, по возможности, подставлять в таблицу значения х симметричные относительно координаты х вершины параболы).

Пример a. Изобрази в системе координат график функции y = x2 - 4x + 3.

Решение. Найдем сперва координату х вершины: x = -b/(2a) = ... = 2. Координату у вершины можно найти с помощью подстановки х в уравнение параболы у = ... = -1.

Таблица:

x

2

1

3

0

4

y

-1

0

0

3

3

График y = x2 - 4x + 3: (Рис. 8)

Точки пересечения параболы с осью х это (1, 0) и (3, 0). Координаты х этих точек есть корни квадратного уравнения x2 - 4x + 3 = 0.

Примечание. Во многих случаях, в основном при решении квадратных неравенств (см. стр. 37), существует необходимость начертить параболу лишь приблизительно, а не точно. В таком случае достаточно найти по формулам корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 корни(если они есть) и сами точки пересечения с осью х. В дополнение к этому, если a > 0, то у параболы - минимум, а если a < 0, то у параболы - максимум(нет нужды находить координаты вершины). Две указанные точки и знание а позволяют приблизительно нарисовать наш график.

Пример b. Начерти приблизительно график параболы y = 2x2 - 5x - 3.

Решение. Решение квадратного уравнения 2x2 - 5x - 3 = 0 есть х1 = -1/2 и х2 = 3. a = 2 > 0, поэтому у параболы минимум. Примерное графическое изображение параболы - слева(Рис. 9).

Гипербола. Еще одна функция второй степени это функция вида у = а/х (а 0). Область определения такой функции х 0. Графическое ее изображение называется гиперболой.

Пример c. Изобрази в системе координат график функции y = 2/x.

Решение. Построим таблицу с помощью подстановки значений х:

x

-1/2

1

-1

2

-2

4

-4

y

4

-4

2

-2

1

-1

-1/2

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей, симметричных относительно начала координат. (Рис. 10)

Примечание.И еще одно уравнение второй степени - уравнение окружности(см. стр. 55).

 

Возрастание и убывание функции

Если вглядеться в график функции на иллюстрации (Рис.) и продвинуться по ней слева направо, выясниться, что сначала функция убывает, а затем возрастает. Приведем соответствующие определения.

Возрастающая функция. Функция y = f(x) будет называться возрастающей, если при возрастании(убывании) значений x значения функции, т.е. значения y, возрастают(убывают).

Убывающая функция. Функция y = f(x) будет называться убывающей, если при возрастании(убывании) значений x значения y убывают(возрастают).

Согласно увиденному(например, относительно параболы) функция не обязательно возрастает или убывает в каждом х. В этом случае говорят об интервалах(областях) возрастания и интервалах убывания. Подчеркнем, что понятие области не относится исключительно к области определения функции, оно представляет собой набор чисел. Например, область х 3 содержит все числа меньше или равные трем. (см. также стр. 31). С помощью знаков неравенства(пояснения относительно неравенств см. начиная со стр. 31) мы сможем приводить более точные определения касательно возрастания и убывания функций в области (интервале).

Возрастающая в области функция. Функция y = f(x) будет называться возрастающей в определенной области, если для любых х1 и х2, для которых выполняется х1 < х2, имеет место f1) < f2).

Убывающая в области функция. Функция y = f(x) будет называться убывающей в определенной области, если для любых х1 и х2, для которых выполняется х1 < х2, имеет место f1) > f2).

Существуют и определения возрастания и убывания функции в отдельной точке, которые здесь не могут быть приведены.

Возрастание и убывание прямой. Выражение, устанавливающее возрастание или убывание функции вида y = mx + n, представляющей прямую, есть коэффициент углового коэффициента m. Можно резюмировать так (см. рис. 2, 3, 4 на стр. 18).

a).Если m > 0 , прямая y = mx + n возрастает для любого x.

b).Если m < 0 , прямая y = mx + n убывает для любого x.

c).Если m = 0 , прямая y = mx + n не возрастает и не убывает.

Пример a. Докажи прямо(согласно определению), что прямая у = 2х + 3 возрастает для любого х.

Решение. Пусть есть два числа х1 и х2 таких, что х1 < х2. Требуется доказать, что f1) > f2), т.е. что 1 + 3 < 2х2 + 3. (О доказательстве неравенств см. на стр. 41). Будем исходить здесь из неравенства х1 < х2. Если умножить его на 2, направление неравенства сохранится(умножение неравенства на положительное число сохраняет его направление, см. стр. 30, параграф b). Т.е. получим 1 < 2х2. Добавим к двум частям неравенства число 3, неравенство останется правильным(см. стр. 30, параграф a). Т.е. мы получили 2х1 + 3 < 2х2 + 3, и это то, что должны были доказать.

Примечание. Во многих случаях удобно исходить из неравенства х2 - х1 > 0, равноценного неравенству х1 < х2 .

 

Возрастание и убывание параболы. Рассматривая график параболы можно заметить, что точка, в которой парабола переходит от убывания к возрастанию или наоборот есть ее вершина. Поэтому, чтобы найти области убывания и возрастания параболы, достаточно найти координату х вершины, равную -b/(2a). Можно дать резюме следующим образом(см. рисунки на стр. 20):

a).Если a > 0, то парабола y = ax2 + bx + c убывает для x < -b/(2a) и возрастает для x > -b/(2a).

b).Если a < 0, то парабола y = ax2 + bx + c возрастает для x < -b/(2a) и убывает для x > -b/(2a).

Пример b. Найди области возрастания и убывания функции y = x2 - 4x - 5.

Решение. Найдем координату х вершины: x = -b/(2a) = 2. Т.к. a = 1 > 0, то функция убывет для x < 2 и возрастает для x > 2.

Примечание. Мы видели здесь, как находить области возрастания и убывания прямой и параболы. Нахождение интервалов возрастания и убывания других функций осуществляется обычно применением дифференциального исчисления.

Обратная функция

Отображение функции. Как мы видели, область определения функции y = f(x) включает в себя все значения, которые переменная х может принять. Приведем теперь соответствующее определение всех значений, которые может принять переменная у.

Отображение функции составляют все ее значения y = f(х), которые функция может принимать, когда х пробегает область ее определения.

Например, функция f(x) = (x - 1)/x может принимать любое числовое значение кроме 1, т.к. уравнение (х - 1)/х = 1 не имеет решения. Чтобы находить отображение функции, надо воспользоваться новым понятием.

Обратная функция. Предположим, что дана функция, обладающая следующим свойством: каждым двум различным значениям в области ее определения поставлены в соответствие два различных значения из области ее значений. (Такая функция называется взаимно однозначной функцией). Не каждая функция обладает таким свойством. Например, у функции f(х) = x2 имеет место f(3) = f(-3) = 9. Т.е. для двух различных значений области определения(3 и -3) функция принимает одно и то же значение области значений (9). (Отметим здесь, что можно уменьшить область определения этой функции, т.е. определить ее только для х 0, и тогда она станет взаимно однозначной). Перейдем к определению:

Обратная функция. Дана функция f(x) такая, что каждым двум различным элементам области ее определения ставятся в соответствие различные элементы области значений. Функция, которая ставит в соответствие каждому элементу отображения функции единственный элемент, соответствующий ей в области ее определения, называется обратной функцией по отношению к функции f(x).

Согласно этому определению, если f(x) и g(x) - две функции, обратные одна другой, и если f1) = у1, то справедливо g(y1) = x1 и наоборот. Можно показать, что две обратные друг другу функции симметричны относительно прямой у = х. (Две точки симметричны относительно прямой, если прямая является срединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки).

Чтобы найти функцию, обратную данной y = f(x), надо превратить х в предмет формулы.

Пример. Дана функция f(x) = 3x/(x - 1). Найди обратную функцию и отображение этой функции.

Решение. Обозначим y = 3x/(x - 1) и превратим х в предмет формулы. Получим ух - у = 3х, поэтому ух - 3х = у, отсюда х(у - 3) = у и окончательно х = у/(у - 3). Определим функцию g(x) так: g(x) = x/(x - 3), которая является обратной функции f(x). Обратная функция g(x) не определена в точке х = 3, т.е. ее область определения есть х 3, но это в точности отображение функции f(x). Т.е. отображение функции у = 3х/(х - 1) есть у 3. (Значение у = 3 не может быть получено, поэтому обратная функция не определена в точке х = 3). Если проверить пример с двумя числами, то получим f(2) = ... = 6 и g(6) = ... = 2.

Сложная функция

В дополнение к арифметическим действиям между функциями(см. стр. 16) можно определить также действие подстановки одной функции во вторую. Это действие называется композицией функций, а полученная функция называется сложной. Перейдем к определению.

Сложная функция. Если y = f(x) (y функция от х) и z = g(y) (z функция от y), то можно определить функцию z = F(x) (z функция от x), где F(x) = g(f(x)).

Чтобы определить функцию g(f(x)) (т.е. подстановку функции f в функцию g), нужно, чтобы отображение f содержалось в области определения g. Область определения функции g(f(x)) есть область значений функции f.

Пример. Даны функции f(x) = x2 - 1, g(x) = 2x + 3. Найди g(f(x)) и f(g(x)).

Решение. Обе функции определены для всех чисел, поэтому создание их композиции проходит без проблем: g(f(x)) = 2(x2 - 1) + 3 = 2x2 + 1, f(g(x)) = (2x + 3)2 - 1 = 4x2 + 12x + 8.

Нечетная функция и четная функция

Существуют функции с особыми свойствами, облегчающими их графическое изображение. Приведем их определения

Нечетная функция. Функция f(x) будет называться нечетной, если для любого х в области ее определения справедливо f(-x) = -f(x).

Четная функция. Функция f(x) будет называться четной, если для любого х в области ее определения справедливо f(-x) = f(x).

Например, функция f(x) = x3 - нечетная, потому что для любого х выполняется f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x). Функция же f(x) = x2 - четная, потому что для любого х выполняется f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x).

Не всякая функция является четной или нечетной, например, функция f(x) = x + 1. Чтобы доказать это, достаточно привести один противоположный пример. И действительно, f(-1) = 0, f(1) = 2, -f(1) = -2. Т.е. f(-1) -f(1), и f(-1) f(1). Поэтому рассматриваемая функция не является нечетной и не является четной.

(Рис. 12 Нечетная функция) Нечетная функция симметрична относительно начала координат, т.е. симметрична относительно оси у, а затем относительно оси х.

(Рис. 13 Четная функция) Четная функция симметрична относительно оси у.

 

Глава вторая. Задачи

В этой главе мы приведем примеры различных задач, соответствующие следующим темам: экономические задачи, числовые задачи, задачи смешивания, движения и производительности труда.

Экономические задачи

Пример. Торговец купил одинаковые изделия на общую сумму 800 шекелей. 8 из них были повреждены, и поэтому он продал каждое из такое изделие по цене на 5 шекелей меньше цены покупки. Остальные же изделия он продал с прибылью 25% на каждом. Всего на этой сделке он заработал 120 шекелей. Найди количество изделий, купленных торговцем.

Решение. Обозначим через х число изделий, тогда цена приобретения каждого из них составит 800/х шекелей. За 8 поврежденных изделий торговец выручил 8(800/х - 5) шекелей. А за х - 8 изделий он получил (х - 8)1.25(800/х) шекелей. Уравнение:

8(800/х - 5) + (х - 8)1.25(800/х) = 800 + 120. Решение этого уравнения дает х = 40, поэтому число изделий равно 40, а цена каждого из них при покупке торговцем была 20 шекелей.

Числовые задачи

Пример. Даны два числа, сумма которых равна 247. Из них образуют два новых числа следующим образом: справа от первого числа приписывают цифру 8, а второе число сокращают удалением цифры единиц, которая равнялась 3-м. При делении первого(нового) числа на второе(новое) получают частное 16 и остаток 12. Найди два исходных числа.

Решение. Обозначим наши числа через х и у. Первое уравнение х + у = 247. Новые числа получаются такими: первое 10х + 8(дописывание восьми справа от числа увеличивает его в 10 раз, и надо еще добавить 8); второе - (у - 3)/10 (удаление цифры единиц 3 уменьшает число сперва на 3, а затем еще в 10 раз). Второе уравнение будет таким: (10х + 8 - 12)/((у - 3)/10) = 16. Или 10(10х - 4) = 16(у - 3). Решение двух полученных уравнений дает х = 34, у = 213. Это и есть искомые числа.

Примечание. В задачах с числами существуют случаи, когда стоит обозначить все число как неизвестное(так было в примере), а бывают случаи, когда следует посчитать неизвестными каждую цифру числа. Эти два случая различаются по формулировке задачи. Если данные относятся к отдельным цифрам, стоит обозначать каждую цифру в качестве неизвестного, а если таких данных нет, надо обозначать как неизвестное все число.

Задачи смешивания

Пример. Смешали некоторый объем уксуса 60% концентрации(по объему!) с уксусом, объем которого на 2 литра больше, а концентрация равна 90%. Добавили 2 литра воды и получили уксус 65% концентрации. Вычисли, сколько смешали литров уксуса каждого вида.

Решение. Обозначим через х объем уксуса с концентрацией 60%. Поэтому х + 2 есть объем 90%-го уксуса. Количество чистого уксуса в первом растворе составляет 60х/100 литров, а во втором - 90(х + 2)/100 литров. Общий объем полученной смеси в литрах есть 2х + 4. Отсюда объем чистого уксуса в смеси равен 65(2х+4)/100 литров.

Искомое уравнение 60х/100 + 90(х + 2)/100 = 65(2х+4)/100. Его решение х = 4. Поэтому искомые объемы есть 4 литра и 6 литров.

Задачи движения

Примечания. a).В каждой из задач, если это не отмечено иначе, скорость - постоянная. b).Основная формула есть S = Vt , где S - путь, V - скорость и t - время.

Пример a. Велосипедист выехал из пункта А и проехал до пункта В 60 км. Через полчаса после первого также из А в В выехал второй велосипедист, его скорость была больше, чем у первого, на 3 км/ч. Второй велосипедист прибыл в В через 2 часа после того, как он догнал первого. Найди скорости велосипедистов.

Решение. Обозначим через х скорость второго велосипедиста, тогда скорость первого будет х - 3. Растояние, пройденное вторым велосипедистом за 2 часа после того, как он догнал первого и до прибытия в В есть 2х км. Значит каждый из велосипедистов проехал до места, где они поравнялись, 60 - 2х км. Отсюда время езды велосипедистов до момента встречи: первого - (60 - 2х)/х часов, второго - (60 - 2х)/(х - 3) часов. Разница этих времен составляет полчаса, поэтому уравнение будет таким:

(60 - 2х)/х + 0.5 = (60 - 2х)/(х - 3). Из него следует квадратное уравнение х2 + 9х - 360 = 0.

Решения последнего х1 = 15 и х2 = -12. Годится только решение х1 = 15, поэтому скорость второго велосипедиста была 15 км/ч, а первого - 12 км/ч.

Пример b. Два грузовика одновременно выехали из одного места и двигались в одном направлении один со скоростью 40 км/ч, а другой 60 км/ч. Через некоторое время следом за ними выехала частная машина также из того же пункта со скоростью 80 км/ч. Эта машина настигла быстрый грузовик через два часа после того, как она поравнялась с медленным грузовиком. Найди расстояние, пройденное каждым грузовиком до того момента, как частный автомобиль догнал их.

Решение. Обозначим через х путь, пройденный медленным грузовиком до того момента, когда частная машина догнала его. Отсюда время, прошедшее с момента выхода медленного грузовика в путь и до того как частная машина догнала его, составляет х/40 часов. Далее машина проехала еще два часа и догнала быстрый грузовик, значит она проехала еще 280 = 160 км. Поэтому путь быстрого грузовика до момента, когда частная машина догнала его, составляет х + 160 км, а его время в пути до этого момента равно (х + 16)/60 часов. Разница между двумя указанными выше времнами составляет 2 часа. Поэтому х/40 + 2 = (х + 160)/60. Решение уравнения дает х = 80. Поэтому путь, пройденный медленным грузовиком до того момента как его настигла частная машина, равен 80 км, а путь быстрого грузовика до того момента, как его догнала машина, составляет 240 км.

Пример c. Вдоль прямолинейной дороги находятся поселения А, В и С (В между А и С). Расстояния между А и С равно 4 км. Один пешеход вышел из А и пошел по направлению к С с постоянной скоростью. Через 20 минут после его выхода второй пешеход вышел из А в направлении В и пошел со скоростью 4.5 км/ч. Второй пешеход догнал первого как раз, когда достиг В. Сразу после этого второй пешеход развернулся и возвратился из В в А с той же скоростью(4.5 км/ч). Первый пешеход продолжил свое путешествие без задержки и добрался до С как раз в тот момент, когда второй пешеход миновал половину пути из В в А. Найди скорость первого пешехода.

Решение. Обозначим через х скорость первого пешехода и через у - расстояние между А и В. Отсюда расстояние от В до С есть 4 - у км. Время в пути от А до В первого пешехода равно у/х часов. Время в пути от А до В второго пешехода равно у/4.5 часов. Разница во времени в пути от А до В между двумя пешеходами составило 1/3 часа(20 минут). Поэтому первое уравнение есть у/4.5 + 1/3 = у/х.

Время первого пешехода на пути от В до С есть (4 - у)/х часов. Время второго пешехода на пути из В в направлении А(до половины расстояния между ними) есть у/9 часов. Последние времена двух пешеходов равны между собой, поэтому второе уравнение будет таким: (4 - у)/х = у/9. Из решения двух уравнений получаем х = 3 и у = 3 или х = -36 и у = -4/3. Т.е. скорость первого пешехода равна 3 км/ч.

Задачи производительности труда

Пример. Два рабочих с постоянной производительностью осуществляют некоторую работу вместе в течение 6 часов. Когда один из них выполняет самостоятельно 2/5 работы, а второй самостоятельно 3/5 работы, это продолжается 13 часов. Вычисли за сколько часов каждый из них может выполнить всю работу.

Решение. Обозначим через х и у количество часов, которое нужно каждому рабочему отдельно, чтобы выполнить всю работу. Та часть работы, которая выполняется первым рабочим за 6 часов составляет 6/х, а вторым за это же время - 6/у. Всего вместе они выполняют всю работу, а поэтому первое уравнение будет таким:

6/х + 6/у = 1. Число часов, которое нужно первому рабочему для исполнения 2/5 работы есть 2х/5 часов, а второму для исполнения 3/5 работы - 3у/5 часов. Второе уравнение: 2х/5 + 3у/5 = 13. Имеется два решения у двух этих уравнений:

х1 = 10 часов и у1 = 15 или х2 = 19.5 часа и у2 = 82/3 часа.

 

Глава 3. Неравенства

Определение и свойства неравенств

Определение неравенства. В этой главе мы обсудим решение неравенств. Решение неравенств принципиально похоже на решение уравнений, но существует ряд различий. Определим сначала, что такое - неравенство.

Определение неравенства. Число a больше числа b(или b - меньше числа a), если существует положительное число P такое, что b + P = a. Принято обозначение b < a. Число a больше или равно числу b, если существует неотрицательное число P такое, что b + P = a. Обозначается это b a.

Например, следующие неравенства - верные: -1< 0, 2 3, 4 4.

Приведем теперь свойства неравенств, для части из них будут даны в дальнейшем доказательства.

Свойства неравенств. a).Если добавить или отнять из двух частей неравенства одно и то же число, неравенство остается верным и сохраняет свое направление. Формула: если b < a, то b + c < a + c.

b).Если умножить или разделить две части неравенства на одно и то положительное число, неравенство остается верным и сохраняет свое направление. Формула: если b < a и c > 0, то bc < ac и также b/c < a/c.

c).Если умножить или разделить две части неравенства на одно и то отрицательное число, неравенство остается верным при условии перемены его направления. Формула: если b < a и c < 0, то bc > ac и также b/c > a/c.

d).Если сложить неравенства с одинаковым направлением между их соответственными частями, то получается верное неравенство с тем же направлением. Формула: если b < a и d < c, то b + d < a + c.

e).Если перемножить соответственные положительные части неравенств с одинаковым направлением, то получается верное неравенство с тем же направлением. Формула: если b < a, d < c и a, b, c, d - положительные, то bd < ac.

Приведем здесь доказательство части этих свойств.

a).Дано: b < a, требуется доказать, что b + c < a + c. Доказательство. Если b < a, то существует число P > 0 такое, что b + P = a. Поэтому b + c + P = a + c. Т.е. существует число P > 0 такое, что (b + c) + P = (a + c). Значит b + c < a + c.

b).Дано: b < a и c > 0, требуется доказать, что bc < ac и b/c < a/c. Доказательство (относительно произведения). Если b < a, то существует число P > 0 такое, что b + P = a. Поэтому (b + P)c = ac или bc + Pc = ac. P > 0 и также дано, что c > 0. Поэтому Pc > 0. Т.е. существует Pc > 0 такое, что bc + Pc = ac. Значит bc < ac.

Аналогичное доказательство годится для деления: пишут 1/c вместо c.

c).Дано: a > b, c < 0, требуется доказать, что ac < bc, a/c < b/c. Доказательство (относительно произведения). Если a > b, то существует число P > 0 такое, что b + P = a. Поэтому (b + P)c = ac или bc + Pc = ac. Т.е. bc = ac - Pc. P > 0, c < 0(согласно данных), поэтому Pc < 0, а отсюда -Pc > 0, т.е. bc > ac. (Т.к. мы нашли положительное число -Pc такое, что bc = ac +(-Pc)).

Аналогичное доказательство годится для деления: пишут 1/c вместо c.

Подобным же образом доказываются остальные свойства.

Области

Займемся теперь неравенствами, в которых появляются переменные. Например, 2x + 3 < x -2, x2 + 3x < 0 и т.п. Решением подобного неравенства является нахождение - для каких значений переменной неравенство выполняется. Следует подчеркнуть , что в отличие от решения уравнений, в которых получается обычно одно или два (для квадратного уравнения) решения, здесь мы получаем, как правило, бесконечное число решений, т.е множество значений переменных, которые будут удовлетворять неравенству. Такой набор чисел называют, согласно тому, что мы уже видели, областью. (См. про определение функции на стр. 16 и про ее возрастание и убывание на стр. 22).

Примеры. Область x > -2 содержит все числа больше -2. Область 1 x < 4 содержит все числа, которые больше или равны 1 и меньше 4.

Неравенства первой степени

Простые неравенства. В этом параграфе мы будем решать неравенства первой степени, сами решения основаны на свойствах, которые мы сформулировали в предыдущем параграфе. В действительности метод решения подобен решению уравнения первой степени, но следует помнить, что умножение или деление неравенства на отрицательное число меняет его направление на противоположное.

Пример a. Реши неравенство 3(2х - 6) + х - 3 < 3х - 5х + 6.

Решение. Раскроем скобки, перенесем и приведем подобные подобно тому, как это делается при решении уравнения с одним неизвестным ... х < 3. (На предпоследнем этапе мы разделили неравенство на 9, как на положительное число). Т.е решением нашего неравенства являются числа меньше 3-х, т.е. область х < 3.

Система неравенств. Когда даны два или более неравенств с одной переменной получается система неравенств. Чтобы решить такую систему, иногда нужно найти общую область или пересечение двух или более областей (система и также): число будет принадлежать пересечению двух областей, если оно принадлежит каждой из них. В других случаях приходится находить суммарную область или их объединение (система или). Для того, чтобы число принадлежало объединению двух областей, достаточно, чтобы оно находилось в одной из них(или в двух одновременно). Удобно находить такие области с использованием чертежа на числовой оси.

Пример b. Начерти на числовой оси области -1 < x < 5 (1), х 2 (2) и найди:

a).их общую область(пересечение); b).их суммарную область(объединение).

Решение. (Рис. 1)Начертим заданные области. a).Общая область(пересечение) 2 х < 5. b).Суммарная область(объединение) х > -1.

Перейдем теперь к решению системы неравенств первой степени. Надо различать систему и также(пересечение) и систему или(объединение).

Пример c. Реши систему 3x - 2 < 2x + 1 и также х - 1 -x + 1.

Решение. 3x - 2 < 2x + 1 и также х - 1 -x + 1 3x - 2x < 2 + 1 и также 2 x < 3 и также х 1. Итак, числа, которые удовлетворяют системе неравенств меньше 3-х и больше или равны 1. Т.е. 1 x < 3. Иначе говоря при решении системы и также надо находить общую область(пересечение).

В соответствие с тем, что мы уже видели, это можно сделать с помощью обозначений на числовой оси. (Рис. 2) Заштрихованная область 1 x < 3 и является общей для двух решений.

Пример d. Реши систему 4x + 2 10 и также 2х + 7 > 3.

Решение. Оно получается таким: х 2 и также x > -2. Здесь общее решение (Рис. 3) х 2. Рисунок - слева.

Примечание. И двойное неравенство вроде -x + 1 < x + 2 < 2x - 3 есть по существу система и также. Оно равнозначно системе x + 2 < 2x - 3 и также -x + 1 < x + 2.

Пример e. Реши систему 5x - 2 < 3x + 8 или 3х/4 + 3 < 6.

Решение. Решения получаются такие: х < 5 или x < 4. Здесь общее решение (Рис. 4) х < 5. Рисунок - слева. Т.е. решая систему или надо находить суммарную область (объединение).

Неравенства с корнями

Решение неравенств первой степени позволяет решать в некоторых случаях и неравенства с квадратными корнями. Когда обнаруживается выражение с корнем, первым делом надо найти область его определения. В первой главе(стр. 16) мы сформулировали, что такое область определения функции. Теперь мы сможем находить область определения и, например, функций с корнем.

Примеры. Найди область определения каждой из следующих функций:

a).y = (6x - 2). b).y = 1/(x + 1). c).y = (x - 2) + (7 - x).

Решения. a).Функция y = (6x - 2) определена при условии, что выражение под квадратным корнем - неотрицательно, т.е. 6х - 2 0. Решение этого неравенства х 1/3, это и есть область определения функции. b).У функции y = 1/(x + 1) корень является знаменателем, поэтому область определения есть x + 1 > 0, или x > -1. c).Чтобы найти область определения функции y = (x - 2) + (7 - x), надо решить систему неравенств 7 - х 0 и также х - 2 0. Решения: х 7 и также х 2. Поэтому область определения 2 x 7. (См. примечание на стр. 17 сверху).

А теперь решим неравенство с квадратными корнями.

d).Реши неравенство (x - 1) < (5 - x). Неравенство определено при условии, что выражения под корнем - неотрицательные, т.е. 5 - х 0 и также х - 1 0. А значит х 5 и также х 1. Перейдем теперь к решению самого неравенства. Обе его части - положительные, поэтому возведение в квадрат обеих частей неравенства сохранит его направление. Получим х - 1 < 5 - х, т.е. ... x < 3. Теперь нужно решить систему 1 x и также х < 3. Решение нашего неравенства: 1 х < 3.

Примечание. Если нет гарантии, что обе части положительные, надо попытаться сделать переносы между частями, чтобы они стали положительными. Если это невозможно, надо разобраться с другими случаями. (См. пример на стр. 38).

Неравенства с абсолютным значением

Напомним сперва определение абсолютного значения числа:

Если x 0, то |x| = x, иначе(x < 0) |x| = -x.

Иными словами абсолютное значение числа есть его расстояние от нуля. Из определения ясно, что для любого числа х справедливо |x| 0.

Существуют два основных неравенства относительно абсолютного значения и, в предположении, что a > 0, они таковы: |x| < a (1), |x| > a (2). Их решения: -a < x < a (1), x > a или x < -a.

Примечания. a).Если a 0, то в случае (1) решения нет, а в случае (2) любое число является решением неравенства. b).В действительности случай (1) это система и также, а случай (2) это система или.

Пример a. Реши неравенство |3x - 2| < 1.

Решение.Согласно случаю (1) получим -1 < 3x - 2 < 1, поэтому 1 < 3x < 3, и решение будет 1/3 < x < 1.

Неравенства с двумя или более абсолютными значениями со знаками сложения или вычитания между ними решаются обычно более трудно. Следующий пример пояснит общий способ.

Пример b. Реши неравенство |x - 1| + |x + 2| < 5.

Решение.Найдем сперва значения х, для которых выражения внутри абсолютных значений равны нулю: если х - 1 = 0, то х = 1, а если х + 2 = 0, то х = -2. Теперь проведем различие между следующими случаями: х 1 (1), -2 x < 1 (2), x < -2 (3).

В случае (1) все выражения внутри абсолютных значений - неотрицательные, поэтому можно отказаться от знаков абсолютных значений и получить: x 1 и одновременно х - 1 + х + 2 < 5, т.е. x 1 и также x < 2. Поэтому решение 2 > x 1.

В случае (2) выражение внутри левого абсолютного значения - отрицательное, поэтому знак минус перед ним превратит его в положительную величину, а выражение внутри правого абсолютного значения все еще неотрицательное . Теперь можно убрать знаки абсолютного значения и получить: 1 > x -2 и также -(х - 1) + х + 2 < 5, т.е. 1 > x -2 и также 3 < 5, решение 1 > x -2.

В случае (3) оба выражения внутри абсолютных значений - отрицательные, знак минус перед ними превратит их в положительные, получим: -2 > x и также -(х - 1) -(х + 2) < 5, т.е. -2 > x и также -3 < x, решение -2 > x > -3.

Итого получаем, что решение есть 1 x < 2 или -2 x < 1 или -3 < x < 2.

Отсюда решение системы есть -3 < x < 2.

Задачи с неравенствами(первой степени)

Приведем пример решения задачи, основанной на разрешениии неравенства первой степени.

Пример. Общая стоимость двух изделий первого и второго сорта равна 15 шекелям. Найди, в какой числовой области должна находиться общая стоимость двух изделий первого сорта и трех изделий - второго.

Решение. Обозначим через х стоимость изделия первого сорта, через у - второго, а через m - требуемую стоимость. Получаем два уравнения: х + у = 15 и 2х + 3у =m. Решение двух этих уравнений с параметром m дает: х = 45 - m, y = m - 30. Условием решения задачи является то, что цены дожны быть положительными, т.е. 45 - m > 0 и m - 30 > 0. Решением нашей системы неравенств будет 30 < m < 45, это и есть искомая область.

Примечание. К последнему результату можно прийти также с помощью следующих соображений. Если предположить, что цена изделия второго сорта равна нулю, то цена изделия первого сорта есть 15 шекелей, а два этих изделия стоят 30 шекелей. С другой стороны, если предположить, что изделие первого сорта стоит ноль, то цена изделия второго сорта будет 15 шекелей, и три таких изделия будут стоить 45 шекелей. Т.е общая цена (m) должна находиться между 30 и 45 шекелями.

Неравенства второй степени

Неравенства второй степени. Перейдем к решению неравенств второй степени (квадратных). Например, x2 - 2x < 3, -x2 < 4x - 5 и т.п. Любое квадратное неравенство можно привести(с помощью алгебраических операций) к одной из двух следующих форм (a > 0): ax2 + bx + c > 0 (1), ax2 + bx + c < 0 (2).

Если же коэффициент a при x2 отрицательный, можно умножить неравенство на -1 и повернуть направление неравенства, так получится равноценное исходному неравенство с a > 0. Т.о. достаточно знать решение одного из двух указанных выше неравенств. Решим эти неравенства с помощью графических описаний и сделаем соответствующие заключения относительно алгебраических решений.

Формула корней квадратного уравнения ax2 + bx + x = 0 (a 0) такова:

x1,2 = (-b (b2 - 4ac))/(2a). Выражение под корнем b2 - 4ac обозначается D(дельта) и называется дискриминантом. Следующие случаи различаются:

a). Если D > 0, то у квадратного уравнения есть два различных вещественных корня х1 и х2.

b). Если D = 0, то у квадратного уравнения есть два одинаковых вещественных корня, равных -b/2a(координата вершины).

c). Если D < 0, то у квадратного уравнения нет вещественных корней.

Графические описания функции у = ax2 + bx + x (ось у не нанесена) в соответствии с указанными тремя случаями (a > 0, х1 < х2) даны на Рис. 5.

Из рисунков видно, что если D > 0 (случай a), то график функции у = ax2 + bx + x находится над осью х(функция положительна) для значений х больше х2 или меньше х1 и график находится под осью х (функция отрицательна) для значений х между х1 и х2. Если D = 0 (случай b), то график нашей функции соприкасается с осью х(касательная) в одной точке (х = -b/2a), в ней значение функции равно 0, а в остальных точках значения функции положительны. Если D < 0 (случай c), то график нашей функции не пересекает ось х (a > 0), т.е. функция положительна для всех х. Разъясним здесь, что результат случая a можно получить и опираясь на следующие соображения. Если х1 и х2 - корни квадратного урравнения, то его можно разложить на сомножители в форме а(х - х1 )(х - х2) = 0. Значит на савмом деле нам надо разрешить неравенства (х - х1 )(х - х2) > 0 или (х - х1 )(х - х2) < 0. Это можно сделать согласно следующему правилу: произведение двух сомножителей положительно, если они оба или положительные или отрицательные; произведение - отрицательно, если один сомножитель - положителен, а второй - отрицателен.

Перейдем к резюме полученных результатов решения неравенств(a > 0, х1 < х2).

Неравенство ax2 + bx + x > 0

Неравенство ax2 + bx + x < 0

Случай

Решение

 

Случай

Решение

D > 0

D = 0

D < 0

х > х2 или х < х1

x -b/2a

для всех х

 

D > 0

D = 0

D < 0

х1 < x < х2

нет решений

нет решений

Примечание. a).В случае, когда к знакам неравенства добавлены знаки равенства, т.е. указанные выше неравенства имеют вид ax2 + bx + x 0 или ax2 + bx + x 0, необходимо внести небольшие изменения в приведенные решения. b).Согласно полученным результатам можно видеть: для того, чтобы неравенство ax2 + bx + x > 0 выполнялось для любого х, необходимо исполнение двух условий: (1)a > 0, (2) D < 0. (См. также левый рисунок на предыдущей странице). Аналогично, чтобы неравенство ax2 + bx + x 0 не выполнялось ни для одного значения х(и, следовательно, неравенство ax2 + bx + x < 0 выполнялось для любого х), необходимо исполнение двух условий: (1)a < 0, (2) D < 0.

Пример a. Реши неравенство 3x(x - 1) < 5 + x2.

Решение. Раскроем скобки, перенесем все выражения налево, приведем подобные и получим сначала x2 + 5 > 3x2 - 3x, а в конце 2x2 - 3x - 5 < 0. Решим теперь квадратное урравнение 2x2 - 3x - 5 = 0. Его решения х1 = -1 и х2 = 2.5. Здесь коэффициент при х2 - положительный(а = 2), поэтому решение неравенства есть -1 < x < 2.5. (Рис. 6) Можно также использовать приблизительное графическое описание функции у = 2x2 - 3x - 5, решение заштриховано.

Пример b. Докажи, что неравенство -5x2 + 6x - 2 < 0 справедливо для всех х.

Решение. Квадратное неравенство -5x2 + 6x - 2 < 0 справедливо для всех х, если (1)a < 0, (2)D < 0. Здесь (1)а = -5 < 0, (2)D = -4 < 0. Поэтому неравенство справедливо для всех х.

Пример c. Найди, для каких значений параметра m неравенство

(m2 -1)x2 + 2(m - 1)x + 2 > 0 справедливо для любого значения х.

Решение. Сразу в начале решения подчеркнем, что с появлением параметра m надо сначала проверить, что происходит, когда коэффициент при x2 оказывается равным нулю. В этом случае наше уравнение перестает быть квадратным. Здесь: a = m2 - 1, b = 2(m -1), c = 2. Поэтому, когда m2 - 1= 0, решение этого уравнения есть m1 = -1, m2 = 1. Если подставить m = -1 в исходное неравенство, получим -4х + 2 > 0. Это неравенство не выполняется для всех значений х, а лишь для х < , поэтому -1 не принадлежит области требуемых значений m. Если подставить m = 1 в исходное неравенство, получим 2 > 0, значит неравенство верно для всех значений х и поэтому 1 принадлежит области требуемых значений m.

Перейдем теперь к решению самого квадратного неравенства, когда m 1. Чтобы неравенство ax2 + bx + c > 0 выполнялось для любого х, необходимо выполнение двух условий: (1)а > 0, (2)D < 0. (См. левый рисунок на стр. 36). Из условия (1) получаем m2 - 1 > 0 с решениями m > 1 или m < -1. Из условия (2) следует :

D = 4(m2 - 2m + 1) - 4(m2 - 1)2 < 0. Получается неравенство m2 + 2m - 3 > 0 с решением m > 1 или m < -3. Общей областью выполнения неравенства согласно условий (1) и (2) будет m > 1 или m < - 3. А в конце надо добавить к этой области m = 1(согласно показанному выше), и поэтому для m 1 или m < -3 заданное неравенство верно для любого значения х.

Квадратные неравенства с корнями

Пример d. Найди область определения функции y = (-x2 - x + 6).

Решение. Функция определена при условии, что ее выражение под корнем неотрицательно. Поэтому надо разрешить неравенство -x2 - x + 6 0 или равносильное ему неравенство x2 + x - 6 0, решение которого есть -3 х 2. Это и есть область определения заданной функции.

Пример e. Реши неравенство x - 4 < (x - 2).

Решение. Сначала подчеркнем, что неравенство определено только при условии, что выражение под квадратным корнем х - 2 неотрицательно, т.е. х - 2 0, или х 2. Перейдем теперь к решению самого неравенства. Его правая часть всегда неотрицательна, а относительно левой части рассмотрим два случая. (1)Если она отрицательна, т.е. x - 4 < 0, или x < 4, тогда наше неравенство всегда справедливо (т.к правая часть всегда неотрицательна). (2)Если же правая часть неотрицательна, т.е. х 4, то можно возвести в квадрат обе части неравенства и оно сохранит свое направление, т.е x2 - 8x + 16 < х - 2, или x2 - 9x + 18 < 0, решение которого 3 < х < 6. Отсюда - решение для случая (2) есть 4 х < 6. Иначе говоря решением самого неравенства является система (1) x < 4 или (2) 4 х < 6, решением которой будет х < 6. Пересечение этого решения с областью определения 2 x дает требуемый ответ 2 x < 6.

Квадратные неравенства с абсолютным значением

Пример f . Реши неравенство |x2 - 2x| < x.

Решение. Это неравенство равносильно двойному неравенству -x < x2 - 2x < x. Система: x2 - 2x < x и также -x < x2 - 2x. Следовательно x2 - 3x < 0 и также 0 < x2 - x. Решения: 0 < x < 3 и также x > 1 или x < 0.

Отсюда решение исходного неравенства: 1 < x < 3.

 

Неравенства с дробями(с переменным в знаменателе)

В этом параграфе обсудим решение неравенств с дробями, в которых переменная х присутствует в знаменателе в первой или второй степени. Мы увидим, что их решение подобно решению квадратных неравенств.

Пример a. Реши неравенство (x + 3)/(x - 1) -2.

Решение. Сначала надо обратить внимание на то, что наше неравенство не определено для х = 1. (Поскольку подстановка х = 1 приводит к появлению нуля в знаменателе). На первый взгляд кажется, что стоит умножить две части неравенства на х - 1, но выражение х - 1 может быть и положительным и отрицательным. Поэтому умножение обеих частей неравенства на х - 1 понуждает нас разбираться с двумя случаями, когда х - 1 > 0 и когда х - 1 < 0. Чтобы избежать этого, удобно на этот раз умножить обе части неравенства на (х - 1) 2 , которое всегда положительно, кроме случая х = 1, но для него, как было сказано, неравенство не определено. Умножение на положительное число сохраняет направление неравенства.

Итак умножим неравенство на (x - 1)2 и после сокращения в правой части получим:

-2(х - 1)2 (x + 3)(x - 1). Поэтому ... в итоге 0 2 -2x - 1. Решение уравнения 2 -2x - 1= 0: x1 = -1/3 и x2 = 1. Наше исходное неравенство не определено в х = 1, а в уравнении а = 3 > 0. Поэтому его решение х -1/3 или x > 1.

Примечания. a).Можно воздержаться от умножения на (x - 1)2 и сократить решение таким образом: преобразуем неравенство (x + 3)/(x - 1) -2 к виду (x + 3)/(x - 1) + 2 0 и приведя к общему знаменателю получим (3x + 1)/(x - 1) 0. Решение последнего неравенства равносильно решению неравенства (3x + 1)(x - 1) 0(кроме точки х =1), поскольку и произведение и частное двух сомножителей положительно, если они оба положительны или отрицательны. Приравнивая числитель и знаменатель к нулю, получим решения x1 = -1/3 и x2 = 1. В дополнение к этому произведение коэффициентов при х в числителе и знаменателе равно 3 - положительному числу. Поэтому в точности как при решении обычного квадратного неравенства, у которого a = 3 > 0, получим(с учетом области определения), что решение есть х -1/3 или x > 1. b).В общей форме для любого неравенства с дробью, в котором переменная появаляется в знаменателе, можно получить(приведением к общему знаменателю) равносильное ему неравенство, в котором одна из частей есть ноль. Решение неравенства получается в соответствии со следующим правилом: дробь положительна, если его числитель и знаменатель оба положительны или оба отрицательны, и дробь отрицательна, если его числитель - положительный, а знаменатель - отрицательный или наборот. Этот путь очень важен, когда переменная появляется во второй степени, как увидим в следующем примере.

Пример b. Реши неравенство (x2 - 25)/(x - 2) 0.

Решение. Частное будет неположительным, если числитель его неотрицательный, а знаменатель - отрицательный, или если числитель его неположительный, а знаменатель - положительный. Поэтому надо решить систему:

x2 - 25 0 и также х - 2 < 0 или x2 - 25 0 и также х - 2 > 0.

Решение: x 5 или х -5 и также х < 2 или -5 x 5 и также x > 2.

Поэтому х -5 или 2 x 5. Резюме: решение х -5 или 2 x 5.

Задачи с неравенствами(второй степени)

Пример.Два велосипедиста одновременно выехали из А в В, которые находятся на расстоянии 40 км. Быстрый велосипедист, скорость которого была на 3 км/ч больше скорости медленного велосипедиста, прибыл в В и немедленно начал двигаться обратно в направлении А. Он вернулся в А больше чем через два часа после того, как медленный велосипедист прибыл в В. Найди область чисел, в которой находится скорость медленного велосипедиста.

Решение. Обозначим через х скорость медленного велосипедиста, тогда х + 3 обозначает скорость быстрого. Медленный велосипедист прошел 40 км и время его путешествия составляет 40/х часов. Быстрый велосипедист прошел 80 км за 80/(х + 3) часов. Согласно задания 80/(х + 3) > 40/x + 2. Это неравенство - квадратное. Оно легко решается с помощью умножения на общий знаменатель х(х + 3). Поскольку скорости - величины положительные, то и этот знаменатель обязательно положителен, и нет нужды проверять другие случаи. Получается неравенство х2 - 17х + 60 < 0. Т.е. скорость медленного велосипедиста находится между 5 и 12 км/ч.

Неравенства степени три и выше.

Решение неравенств степени выше второй обычно затруднительно. Для решения таких неравенств мы будем пользоваться, если это возможно, разложением на множители.

Пример. Реши неравенство х3 - 3х2 + 4х < 0.

Решение. Извлечем х в качестве общего множителя и получим

х3 - 3х2 + 4х = х(х2 - 3х + 4) < 0. Произведение двух сомножителей отрицательно, если первый - отрицателен, а второй - положителен, или наоборот. Возможности таковы: (1)х < 0 и также х2 - 3х + 4 > 0 или (2)х > 0 и также х2 - 3х + 4 < 0.

Соответственные решения:

(1)х < 0 и также х > 4 или х < 1 или (2)х > 0 и также 1 < х < 4.

Решение системы х > 0 или 1 < x < 4 является решением исходного неравенства.

Доказательство неравенств

И в завершение раздела неравенств приведем примеры доказательства неравенств отличие от решения неравенств, которым мы занимались до сих пор). Доказывать неравенства можно следующими способами:

a).Исходя из известного неравенства осуществить над ним правильные алгебраические действия (вроде переноса между частями) и прийти к требуемому неравенству.

b).Раскрывая одну часть неравенства показать, что она выполняет требуемое неравенство относительно второй части.

c).Действуя над обеими частями неравенства, которое надо доказать, как над заданным неравенством, прийти к известному неравенству. Этот путь верен с математической точки зрения, поэтому им можно пользоваться.

Пример a. Докажи, что для любых a > 0 и b > 0 справедливо a/b + b/a 2.

Решение. Будем исходить из неравенства (a - b)2 0. Оно справедливо для любых значений a и b. Раскроем левую часть и получим a2-2ab+b2 0. Поэтому a2+b2 2ab.

Разделим обе части последнего неравенства на ab > 0(т.к. a > 0 и b > 0), получим a/b + b/a 2. Это - требуемое неравенство.

Пример b. Докажи: для любых c и d, для которых справедливо 2c + d = 6, выполняется cd 4.5 .

Решение. Обозначим c = x, а тогда d = 6 - 2x. Определим функцию

y = cd = x(6 - 2x) = -2x2 + 6x. Это функция параболы с максимумом(у нее отрицательный коэффициент при х2, a = -2, b = 6). Найдем координату х вершины параболы: x = -b/2a = 1.5 . Значение максимума y = 4.5 . Поэтому cd 4.5.

 

Глава 4. Исследование уравнений

Исследование уравнения первой степени с одним неизвестным

В этом параграфе обсудим число решений уравнения первой степени с одним неизвестным. Для такого уравнения существует три возможности :

a).одно решение; b).нет решений; c).бесконечное число решений.

Следующие примеры характеризуют указанные различные случаи.

a).Уравнение 2х = х + 3 имеет единственное решение х = 3.

b).Уравнение 2х = 2х + 1 не имеет решения; если решать его обычным образом, получается 0 = 1, что невозможно.

c).Уравнение 2х = х + х имеет бесконечное множество решений; его решение обычным образом дает 0 = 0, это верно всегда.

Число решений в общей форме. Обычно, если дано уравнение первой степени ax = b, существует три случая:

a).a 0. В этом случае существует единственное решение х = b/a.

b).a = 0, b 0. В этом случае получаем 0x = b, т.е. b = 0, а этого не может быть, поэтому нет решения.

c).a = 0, b = 0. В этом случае получаем 0x = 0, т.е. любое число х является решением этого уравнения, поэтому существует бесконечное множество решений.

Резюме о числе решений уравнения первой степени с одним неизвестным.

a).Если коэффициент при переменной отличается от нуля, уравнение имеет единственное решение.

b).Если только коэффициент при переменной равен нулю, уравнение не имеет решения.

c).Если все коэффициенты равны нулю, уравнение имеет бесконечное число решений.

Перейдем к примерам уравнений с параметром. Число решений в таких уравнениях зависит от параметра.

Пример a. Дано уравнение m(mx - 1) = 2m(x + 1). Найди для каких значений m уравнение a).имеет единственное решение; b).не имеет решения; c).имеет бесконечное число решений.

Решение. Разрешим сперва уравнение и получим m2x - m = 2mx + 2m, поэтому m2x - 2mx = 3m, и в итоге (m2 - 2m)x = 3m.

Способ a - согласно резюме, приведенному нами перед настоящим примером, рассмотрим следующие случаи:

a).Единственное решение получается, когда коэффициент при переменной отличен от нуля, т.е. m2 - 2m 0. Поэтому, когда m 0 и m 2, уравнение имеет единственное решение, которое (после сокращений) имеет вид x = 3/(m - 2).

b).Решений нет, если только коэффициент при переменной равен нулю, это происходит, когда m = 2(т.к. если и m = 0, то и 3m = 0).

c).Бесконечное число решений получается, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. когда m = 0(поскольку тогда и 3m = 0).

Способ b - исходим из уравнения (m2 - 2m)x = 3m и рассмотрим следующие случаи:

a).Если m 2 и также m 0, можно делить на значение выражения m2 - 2m и получаемое решение x = 3/(m - 2) является единственным.

b).Если m = 2, в результате подстановки получим уравнение 0х = 32, т.е. 0 = 6. Этого не может быть, поэтому решения нет.

c).Если m = 0, в результате подстановки получим уравнение 0х = 30, т.е. 0 = 0. Поэтому существует бесконечное число решений.

Пример b. Докажи, что уравнение хm2 - m = mx - x имеет единственное решение для любого х.

Решение. Решение уравнения обычным способом дает x = m/(m2 - m + 1). Знаменатель m2 - m + 1 положителен для любого значения m(т.к. коэффициент при m2 есть 1, т.е. положительный, а D = -3 < 0). Поэтому для любого значения m знаменатель отличается от нуля, и у заданного уравнения есть единственное решение.

Исследование системы уравнений первой степени

Исследование двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. И в случае двух уравнений первой степени с двумя неизвестными число возможных решений: a).одно решение; b).нет решений; c).бесконечное число решений.

Примеры: Одно решение Нет решений Бесконечное число решений

х + у = 2 х + у = 3 х + у = 5

х - у = 8 х + у = 1 2х + 2у = 10

У левой системы есть единственное решение х = 5, у = -3. У системы посредине нет решения - вычитание уравнений дает 0 = 2, чего не может быть. У правой системы имеется бесконечное число решений - после умножения верхнего уравнения на 2 и вычитания уравнений получается 0 = 0, это верно всегда.

Число решений в общей форме. В общем виде, если дана система из двух уравнений с двумя неизвестными в первой степени

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

рассмотрим две возможности:

a).коэффициенты при переменных не являются пропорциональными друг другу.

b).коэффициенты при перемнных пропорциональны друг другу.

Запишем эти возможности так (в соответствие с определением пропорции):

a).a1b2 a2b1 ; b).a1b2 = a2b1 .

Проверим сперва возможность a. В этом случае хотя бы один из коэффициентов a1 или a2 должен отличаться от нуля, поскольку равенство нулю их обоих приводит к возможности b. Если так, то рассмотрим относительно a два случая :

(1)a1 0, a2 0; (2)a1 = 0, a2 0 или a1 0, a2 = 0.

Если выполняется случай (1), умножим второе уравнение на число Р 0, такое, что a1 = a2P и получим систему: a1x + b1y = c1

a2Px + b2Py = c2P

После вычитания второго уравнения из первого получим уравнение

(b1 -b2P)y = c1 - c2P, т.к. a1 = a2P. Как было указано, a1b2 a2b1 , поэтому также a2Pb2 a2b1 , и после сокращения на a2 0 получим Рb2 b1 . Поэтому у последнего уравнения есть единственное решение относительно у (см. стр. 42):

y = (c1 - c2P)/(b1 - b2 P). После вычисления у можно подставить его в первое уравнение и определить х, а поскольку a1 0, получится единственное решение и для х.

Если имеет место случай (2), положим a1 = 0, a2 0, тогда существует единственное решение для у из первого уравнения, поскольку обязательно b1 0 (если a1 = 0 и также b1 = 0, имеет место возможность b). После вычисления у вычислим х из второго уравнения и для него получим также единственное решение, т.к. a2 0. Аналогичный результат получается, если a1 0 и a2 = 0.

Проверим теперь возможность b, т.е. когда выполняется a1b2 = a2b1 . В этом случае можно записать такое равносильное условие этой возможности: существует число Р 0, для которого выполняется a1 = a2P и также b1 = b2P. (Это невозможно, если, например, a1 = b1 = 0 и хотя бы a2 0 или b2 0. Проверка этих случаев по-отдельности приводит к тем же выводам, которые получаются в конце). Помножим второе уравнение на Р 0 и получим систему: a1x + b1y = c1

a2Px + b2Py = c2P

После вычитания второго уравнения из п